704. 二分查找

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给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9     
输出: 4       
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4     

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2     
输出: -1        
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1        

提示：

• 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
• n 将在 [1, 10000]之间。
• nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

思路

使用二分法的前提：数组有序、数组中无重复元素

二分法易错点

边界条件

1. 到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right)
2. 到底是right = middle呢，还是要right = middle - 1呢？

循环不变量

边界的规则根据区间的定义，定义了怎样的区间，决定了循环的边界如何写。

区间的定义：区间的定义就是不变量

1. 左闭右闭
2. 左闭右开

要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。

写二分法，区间的定义一般为两种，左闭右闭即[left, right]，或者左闭右开即[left, right)。

方法一：左闭右闭

第一种写法，我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是[left, right] （这个很重要非常重要）。

区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写，因为定义target在[left, right]区间，所以有如下两点：

• while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=
• if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1

class Solution {public int search(int[] nums, int target) {//左闭右闭方法int left = 0, right = nums.length -1;//当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=while(left <= right){// 防止溢出 等同于(left + right)/2int middle = left + (right - left) / 2;if(target < nums[middle]){// target 在左区间，所以[left, middle - 1]right = middle - 1; }else if(target > nums[middle]){// target 在右区间，所以[middle + 1, right]left = middle+1;}else{ // nums[middle] == target// 数组中找到目标值，直接返回下标return middle; } }// 未找到目标值return -1; }  
}

• 时间复杂度：O(log n)
• 空间复杂度：O(1)

方法二：左闭右开

如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) ，那么二分法的边界处理方式则截然不同。

有如下两点：

• while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的
• if (nums[middle] > target) right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]

class Solution {public int search(int[] nums, int target) {//左闭右开方法int left = 0, right = nums.length;//当left < right，区间[left, right)有效while(left <  right){// 防止溢出 等同于(left + right)/2int middle = left + (right - left) / 2;if(target < nums[middle]){// target 在左区间，所以[left, middle)right = middle; }else if(target > nums[middle]){// target 在右区间，所以[middle+1, right)left = middle + 1;}else{ // nums[middle] == target// 数组中找到目标值，直接返回下标return middle; } }// 未找到目标值return -1; }  
}

• 时间复杂度：O(log n)
• 空间复杂度：O(1)

总结

本篇根据两种常见的区间定义，给出了两种二分法的写法，每一个边界为什么这么处理，都根据区间的定义做了详细介绍。

1. 理解区间的定义
2. 在循环中始终坚持根据查找区间的定义来做边界处理。区间的定义就是不变量，那么在循环中坚持根据查找区间的定义来做边界处理，就是循环不变量规则。