等差数列

这里说若数列ai=ai−1+da_i=a_{i-1}+dai​=ai−1​+d，则称数列a为一个等差数列。
则an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)dan​=a1​+(n−1)d

那么设等差数列的前缀和为s，则sn=n(a1+an)2s_n=\\frac{n(a_1+a_n)}{2}sn​=2n(a1​+an​)​

证明不难。

平方数求和公式

∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6\\overset{n}{\\underset{i=1}\\sum}i^2=\\frac{n(n+1)(2n+1)}6i=1∑​n​i2=6n(n+1)(2n+1)​

立方数求和公式

∑i=1ni3=(n(n+1)2)2\\overset{n}{\\underset{i=1}\\sum}i^3=\\left(\\frac {n(n+1)}{2}\\right)^2i=1∑​n​i3=(2n(n+1)​)2

更高次方数求和较复杂。
∑i=1nik=∑i=1k+1(−1)δik(k+1i)Bk+1−inik+1\\overset{n}{\\underset{i=1}\\sum}i^k=\\frac {\\overset{k+1}{\\underset{i=1}\\sum}(-1)^{\\delta _{ik}}\\begin{pmatrix}k+1\\\\ i\\end{pmatrix}B_{k+1-i}n^i}{k+1}i=1∑​n​ik=k+1i=1∑​k+1​(−1)δik​(k+1i​)Bk+1−i​ni​

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等比数列

这里说若数列ai=ai−1∗qa_i=a_{i-1}*qai​=ai−1​∗q，则称数列a为一个等比数列。

那么设等比数列的前缀和为s，则sn=a1qn−1q−1s_n=a_1 \\frac {q^n-1}{q-1}sn​=a1​q−1qn−1​

证明不难。

k次方差公式

容易证明有ak−bk=(a−b)∑i=0k−1aibk−1−ia^k-b^k=(a-b)\\overset{k-1}{\\underset{i=0}\\sum}a^ib^{k-1-i}ak−bk=(a−b)i=0∑​k−1​aibk−1−i

后记

于是皆大欢喜。