用Python求解牛顿的草地与母牛问题

问题概览

牛顿在1707 年提出了如下一个有趣的问题：

• a 头母牛将b 块地上的牧草在c 天内吃完了；
• a′头母牛将b′块地上的牧草在c′天内吃完了；
• a″头母牛将b″块地上的牧草在c″天内吃完了；

求出从a 到c″ 9 个数量之间的关系。

假设所有草地提供的牧草数量相同，每块草地每日长草量保持不变，而且每头母牛每天吃草量也相同。

这个题乍看上去实在不像是一道题，而且这九个数虽然不是毛关系都没有，但彼此之间的关系其实是非常简单的，无非假定每块地草量为$x$；每日长草$y$；每头牛每天吃$z$，可以得出

acz=bx+cbya′c′z=b′x+c′b′ya′′c′′z=b′′x+c′′b′′yacz=bx+cby\\\\ a'c'z=b'x+c'b'y\\\\ a''c''z=b''x+c''b''y\\\\ acz=bx+cbya′c′z=b′x+c′b′ya′′c′′z=b′′x+c′′b′′y

符号推导

接下来要将这三个等式中的$x,y,z$约掉，得到的就是a,b,c,a′,b′,c′,a′′,b′′,c′′a, b, c, a' ,b' ,c' ,a'' ,b'' ,c''a,b,c,a′,b′,c′,a′′,b′′,c′′之间的关系。为了写diamagnetic方便，下面将a,a′,a′′a, a', a''a,a′,a′′改写为a1,a2,a3a_1, a_2, a_3a1​,a2​,a3​，b,c也是。

很显然，可以写成矩阵的形式，而将线性方程组转为矩阵可是sympy的看家本领

import sympy
a = sympy.symbols("a1,a2,a3")
b = sympy.symbols("b1,b2,b3")
c = sympy.symbols("c1,c2,c3")
x,y,z = sympy.symbols("x,y,z")
eqs = []
for i in range(3):eqs.append(b[i]*x+c[i]*b[i]*y-a[i]*c[i]*z)mat = sympy.linear_eq_to_matrix(eqs, x,y,z)
print(sympy.latex(mat[0]))

[b1b1c1−a1c1b2b2c2−a2c2b3b3c3−a3c3]\\left[\\begin{matrix}b_{1} & b_{1} c_{1} & - a_{1} c_{1}\\\\b_{2} & b_{2} c_{2} & - a_{2} c_{2}\\\\b_{3} & b_{3} c_{3} & - a_{3} c_{3}\\end{matrix}\\right] ​b1​b2​b3​​b1​c1​b2​c2​b3​c3​​−a1​c1​−a2​c2​−a3​c3​​​

由于这个式子乘以$[x,y,z]$等于0，说明这个矩阵不满秩，即行列式为0，换言之，这九个数有如下关系

∣b1b1c1−a1c1b2b2c2−a2c2b3b3c3−a3c3∣\\left|\\begin{matrix}b_{1} & b_{1} c_{1} & - a_{1} c_{1}\\\\b_{2} & b_{2} c_{2} & - a_{2} c_{2}\\\\b_{3} & b_{3} c_{3} & - a_{3} c_{3}\\end{matrix}\\right| ​b1​b2​b3​​b1​c1​b2​c2​b3​c3​​−a1​c1​−a2​c2​−a3​c3​​​

这个关系并不优雅，主要是其中的负号有点破坏美感。想解决这个问题很容易，只需假定z是个负数就行了，这样的话每头牛每天吃-z草，得到的结果如下

∣b1b1c1a1c1b2b2c2a2c2b3b3c3a3c3∣\\left|\\begin{matrix}b_{1} & b_{1} c_{1} & a_{1} c_{1}\\\\b_{2} & b_{2} c_{2} & a_{2} c_{2}\\\\b_{3} & b_{3} c_{3} & a_{3} c_{3}\\end{matrix}\\right| ​b1​b2​b3​​b1​c1​b2​c2​b3​c3​​a1​c1​a2​c2​a3​c3​​​