树型结构

概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

树中的概念

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

树的表现形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {int value; // 树中存储的数据Node firstChild; // 第一个孩子引用Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

二叉树

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
   
   从上图可以看出：
3. 二叉树不存在度大于2的结点
4. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
   

二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为
   向上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

二叉树的存储

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}

二叉树基本操作

// 获取树中节点的个数
int size(Node root);
// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);
// 子问题思路-求叶子结点个数
// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root,int k);
// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);
// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);
//层序遍历
void levelOrder(Node root);
// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root);

//前序遍历public void preOrder(treeNode root) {if (root == null) return;System.out.print(root.val + " ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);//前序遍历 先打印根节点 在打印左节点 在打印右节点//将大问题拆分成小问题 递归解决}//中序遍历public void inOrder(treeNode root) {if (root == null) return;inOrder(root.left);System.out.print(root.val + " ");inOrder(root.right);}//后序遍历public void postOrder(treeNode root) {if (root == null) return;inOrder(root.left);inOrder(root.right);System.out.print(root.val + " ");}public int usedSize = 0;//获取树中的节点个数public int size(treeNode root) {if (root == null) {return 0;}usedSize++;size(root.left);size(root.right);return usedSize;}public int size2(treeNode root) {if (root == null) {return 0;}return size2(root.left) + size2(root.right) + 1;//返回值+1是因为要加上根节点}//获取叶子节点的个数public int LeafNodeCount = 0;public int getLeafNodeCount(treeNode root) {if (root == null) {return 0;}if (root.left == null && root.right == null) {LeafNodeCount ++;}getLeafNodeCount(root.left);getLeafNodeCount(root.right);return LeafNodeCount;}public int getLeafNodeCount2(treeNode root){if(root == null){return 0;}if (root.left == null && root.right == null){return 1;//如果是叶子节点 就返回1}return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right);//返回左树叶子节点的个数和右树叶子节点的个数}//获取第k层节点的个数public int getLevelNodeCount(treeNode root, int k){if (root == null){return 0;}if (k == 1){return 1;//第一层只有一个节点;}return getLevelNodeCount(root.left, k - 1) + getLevelNodeCount(root.right, k - 1);}//获取二叉树的高度public int getHigh(treeNode root){if(root == null){return 0;}int leftHight = getHigh(root.left);int rightHight = getHigh(root.right);return Math.max(leftHight,rightHight) + 1;}public int getHigh2(treeNode root){if(root == null){return 0;}return Math.max(getHigh2(root.left) , getHigh2(root.right)) + 1;}