《高等工程数学》试题卷二（第二部分，每个题型3道例题，AI出题）

2.1 给定一线性变换T,及原像，求该原像的像
以下是三道例题及其解题过程和答案：

例题1：给定线性变换T，其中T(x,y) = (2x+y,3x+2y)，求向量(1,2)在该变换下的像。

解题过程：

将向量(1,2)代入线性变换T中，有：

T(1,2) = (21+2,31+4) = (4,7)

因此，向量(1,2)在该线性变换下的像为(4,7)。

答案：(4,7)

例题2：给定线性变换T，其中T(x,y,z) = (x-y,y+z,2x+3y+z)，求向量(1,2,3)在该变换下的像。

解题过程：

将向量(1,2,3)代入线性变换T中，有：

T(1,2,3) = (1-2,2+3,21+32+3) = (-1,5,11)

因此，向量(1,2,3)在该线性变换下的像为(-1,5,11)。

答案：(-1,5,11)

例题3：给定线性变换T，其中T(x,y,z) = (x+y+z,x-y+z,-x+y+z)，求向量(2,3,1)在该变换下的像。

解题过程：

将向量(2,3,1)代入线性变换T中，有：

T(2,3,1) = (2+3+1,2-3+1,-2+3+1) = (6,0,2)

因此，向量(2,3,1)在该线性变换下的像为(6,0,2)。

答案：(6,0,2)

2.2 求该线性变换在基下的矩阵
好的，以下是三道例题及其解题过程和答案：

例题1：给定线性变换T，其中T(x,y) = (2x+y,3x+2y)，求该变换在标准基下的矩阵。

解题过程：

我们需要求出在标准基下，变换T将基向量e1=(1,0)和e2=(0,1)分别映射成什么向量，然后将这些向量按列组成矩阵即可。

对于基向量e1，有：

T(e1) = T(1,0) = (2,3)

对于基向量e2，有：

T(e2) = T(0,1) = (1,2)

因此，该线性变换在标准基下的矩阵为：

[2 1]
[3 2]

答案：[2 1]
[3 2]

例题2：给定线性变换T，其中T(x,y,z) = (x-y,y+z,2x+3y+z)，求该变换在标准基下的矩阵。

解题过程：

我们需要求出在标准基下，变换T将基向量e1=(1,0,0)，e2=(0,1,0)和e3=(0,0,1)分别映射成什么向量，然后将这些向量按列组成矩阵即可。

对于基向量e1，有：

T(e1) = T(1,0,0) = (1,0,2)

对于基向量e2，有：

T(e2) = T(0,1,0) = (-1,1,3)

对于基向量e3，有：

T(e3) = T(0,0,1) = (1,1,1)

因此，该线性变换在标准基下的矩阵为：

[ 1 -1 1]
[ 0 1 1]
[ 2 3 1]

答案：[ 1 -1 1]
[ 0 1 1]
[ 2 3 1]

例题3：给定线性变换T，其中T(x,y,z) = (x+y+z,x-y+z,-x+y+z)，求该变换在基B={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)}下的矩阵。

解题过程：

我们需要求出在基B下，变换T将基向量b1=(1,0,0)，b2=(1,1,0)和b3=(1,1,1)分别映射成什么向量，然后将这些向量按列组成矩阵即可。

首先，我们需要将基向量b1,b2,b3表示为标准基下的向量：

[b1]_B = [1 0 0]^T
[b2]_B = [1 1 0]^T
[b3]_B = [1 1 1]^T

然后，我们可以通过基变换的公式：

[T(b)]_B = [I]_B^A [T(b)]_A

其中，[I]_B^A为从基A到基B的过渡矩阵，可以通过将基向量b1,b2,b3表示为标准基下的向量，然后按列组成矩阵得到：

[I]_B^A = [1 1 1]
[0 1 1]
[0 0 1]

对于基向量b1，有：

T(b1) = T(1,0,0) = (1,1,-1)

将其表示为基B下的向量：

[T(b1)]_B = [1 0 -1]^T

对于基向量b2，有：

T(b2) = T(1,1,0) = (2,0,2)

将其表示为基B下的向量：

[T(b2)]_B = [0 -2 2]^T

对于基向量b3，有：

T(b3) = T(1,1,1) = (3,1,1)

将其表示为基B下的向量：

[T(b3)]_B = [2 -1 -1]^T

因此，该线性变换在基B下的矩阵为：

[1 0 2]
[1 -2 -1]
[-1 2 1]

答案：[1 0 2]
[1 -2 -1]
[-1 2 1]

3 求给定线性变换的零空间和值空间，判断该线性变换是否可以相似对角化
例题1：

给定线性变换T(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2, x3 - x1)，求其零空间和值空间，并判断是否可以相似对角化。

解题过程：

首先要求出该线性变换的矩阵表示。将T作用于基向量{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}上得到：

T(1,0,0) = (1,0,-1)
T(0,1,0) = (1,1,0)
T(0,0,1) = (0,0,1)

将上述结果按列组成一个矩阵A，则A就是该线性变换的矩阵表示。

 1  1  0

A = 0 1 0
-1 0 1

接下来求解该矩阵的零空间和值空间。

零空间的求解：解齐次线性方程组Ax=0，即

x1 + x2 = 0
x3 - x1 = 0

解得x = (t, -t, t)。所以该线性变换的零空间为{(t, -t, t)，t为任意实数}。

值空间的求解：解非齐次线性方程组Ax=b，任意取一个向量b，例如b=(1,2,3)，则有

x1 + x2 = 1
x3 - x1 = 3

解得x=(2,-1,1)。所以该线性变换的值空间为{(2,-1,1)}。

判断是否可以相似对角化：首先要求该矩阵的特征值和特征向量。解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ=1,1,2。然后解方程组(A-λI)x=0，得到特征向量v1=(-1,0,1)，v2=(0,1,0)，v3=(1,0,1)。由于该矩阵有三个线性无关的特征向量，所以可以相似对角化。

将特征向量按列组成一个矩阵P，即

-1  0  1

P = 0 1 0
1 0 1

则P的逆矩阵P^{-1与该线性变换的矩阵表示相似，且P}-1AP是一个对角矩阵。

例题2：

给定线性变换T(x1, x2, x3) = (x1 + x3, x1 + x2, x2 + x3)，求其零空间和值空间，并判断是否可以相似对角化。

解题过程：

将T作用于基向量{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}上得到：

T(1,0,0) = (1,1,0)
T(0,1,0) = (0,1,1)
T(0,0,1) = (1,0,1)

将上述结果按列组成一个矩阵A，则A就是该线性变换的矩阵表示。

 1  0  1

A = 1 1 0
0 1 1

接下来求解该矩阵的零空间和值空间。

零空间的求解：解齐次线性方程组Ax=0，即

x1 + x3 = 0
x1 + x2 = 0
x2 + x3 = 0

解得x = (-t, t, -t)。所以该线性变换的零空间为{(-t, t, -t)，t为任意实数}。

值空间的求解：解非齐次线性方程组Ax=b，任意取一个向量b，例如b=(1,2,3)，则有

x1 + x3 = 1
x1 + x2 = 2
x2 + x3 = 3

解得x=(5/2,-3/2,1/2)。所以该线性变换的值空间为{(5/2,-3/2,1/2)}。

判断是否可以相似对角化：首先要求该矩阵的特征值和特征向量。解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ=1,1,2。然后解方程组(A-λI)x=0，得到特征向量v1=(-1,1,0)，v2=(-1,0,1)，v3=(1,-1,1)。由于该矩阵只有两个线性无关的特征向量，所以不能相似对角化。

例题3：

给定线性变换T(x1, x2) = (2x1 + x2, x1 + 2x2)，求其零空间和值空间，并判断是否可以相似对角化。

解题过程：

将T作用于基向量{(1,0),(0,1)}上得到：

T(1,0) = (2,1)
T(0,1) = (1,2)

将上述结果按列组成一个矩阵A，则A就是该线性变换的矩阵表示。

 2  1

A = 1 2

接下来求解该矩阵的零空间和值空间。

零空间的求解：解齐次线性方程组Ax=0，即

2x1 + x2 = 0
x1 + 2x2 = 0

解得x = (0, 0)。所以该线性变换的零空间为{(0, 0)}。

值空间的求解：解非齐次线性方程组Ax=b，任意取一个向量b，例如b=(1,1)，则有

2x1 + x2 = 1
x1 + 2x2 = 1

解得x=(1/3,1/3)。所以该线性变换的值空间为{(1/3,1/3)}。

判断是否可以相似对角化：首先要求该矩阵的特征值和特征向量。解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ=3,1。然后解方程组(A-λI)x=0，得到特征向量v1=(-1,1)和v2=(1,1)。由于该矩阵只有两个线性无关的特征向量，所以不能相似对角化。

4 求给定矩阵的最小多项式，Jordan标准形、方阵函数
例题1：

已知矩阵A=

1 0 0
0 2 0
0 0 3

求A的最小多项式、Jordan标准形和方阵函数。

解题过程：

首先求A的最小多项式：由于A是对角矩阵，所以其特征多项式即为其最小多项式。特征多项式为f(λ) = (λ-1)(λ-2)(λ-3)。

然后求A的Jordan标准形：由于A是对角矩阵，所以其Jordan标准形也是对角矩阵，且其对角线上的元素就是A的特征值。所以A的Jordan标准形为

1 0 0
0 2 0
0 0 3

最后求A的方阵函数：由于A是对角矩阵，所以其方阵函数为

f(A) =

1 0 0
0 2 0
0 0 3

例题2：

已知矩阵A=

1 1 0
0 1 0
0 0 1

求A的最小多项式、Jordan标准形和方阵函数。

解题过程：

首先求A的最小多项式：解方程det(A-λI)=0，得到特征多项式为f(λ) = (λ-1)^3。但是可以发现A只有一个线性无关的特征向量v=(1,0,0)，而f(A)v=0，所以f(λ)应该再乘上一个因子λ-1，即A的最小多项式为f(λ) = (λ-1)^4。

然后求A的Jordan标准形：由于A只有一个特征值λ=1，所以其Jordan标准形为

1 1 0
0 1 0
0 0 1

最后求A的方阵函数：由于A只有一个特征值λ=1，所以其方阵函数为

f(A) =

1 k 0
0 1 0
0 0 1

其中k为任意实数。

例题3：

已知矩阵A=

1 1
-1 1

求A的最小多项式、Jordan标准形和方阵函数。

解题过程：

首先求A的最小多项式：解方程det(A-λI)=0，得到特征多项式为f(λ) = (λ-1)^2。但是可以发现A只有一个线性无关的特征向量v=(1,1)，而f(A)v=0，所以f(λ)应该再乘上一个因子λ-1，即A的最小多项式为f(λ) = (λ-1)^3。

然后求A的Jordan标准形：由于A只有一个特征值λ=1，所以其Jordan标准形为

1 1
0 1

最后求A的方阵函数：由于A只有一个特征值λ=1，所以其方阵函数为

f(A) =

1 k
0 1

其中k为任意实数。

5 求给定总体参数的极大似然估计，并证明该估计是最小方差无偏估计
以下是三道例题：

1. 假设总体服从正态分布，已知样本均值为x，样本方差为s^2，求正态分布的均值μ的极大似然估计。

解题过程：
根据正态分布的概率密度函数，可以写出样本的似然函数：
L(μ,s^2|x1,x2,…,xn) = (2πs²⁾(-n/2) * exp[-∑(xi-μ)^2/2s2]
对似然函数取对数，可得到：
lnL(μ,s^2|x1,x2,…,xn) = -(n/2)ln(2πs^2) - ∑(xi-μ)^2/2s2
为了求μ的极大似然估计，需要对似然函数求导：
∂lnL/∂μ = ∑(xi-μ)/s^2
令上式等于0，得到μ的极大似然估计：
μ^ = x

接下来需要证明μ^是最小方差无偏估计。
由中心极限定理可知，当样本量n充分大时，样本均值x的分布趋近于正态分布，且其均值为总体均值μ，方差为总体方差除以样本量n，即：

E(x) = μ
Var(x) = s^2/n

因此，μ^{是无偏估计，即E(μ}) = μ。
接下来需要证明μ^是最小方差无偏估计，即其方差最小。根据方差的定义，有：

Var(μ^) = E[(μ^ - μ)^2] = E[(x - μ)^2/n]

将上式展开，得到：

Var(μ^) = E[(x^2 - 2xμ + μ^2)/n] = E(x^2)/n - 2μE(x)/n + μ^2

由于x服从正态分布，因此有：

E(x^2) = Var(x) + [E(x)]^2 = s^2/n + μ^2

带入上式，可得：

Var(μ^) = s^2/n

因此，μ^是具有最小方差的无偏估计。

2. 假设总体服从指数分布，已知样本均值为x，求指数分布的参数λ的极大似然估计。

解题过程：
根据指数分布的概率密度函数，可以写出样本的似然函数：
L(λ|x1,x2,…,xn) = λ^n * exp[-λ∑xi]
对似然函数取对数，可得到：
lnL(λ|x1,x2,…,xn) = nlnλ - λ∑xi
为了求λ的极大似然估计，需要对似然函数求导：
∂lnL/∂λ = n/λ - ∑xi
令上式等于0，得到λ的极大似然估计：
λ^ = n/∑xi

接下来需要证明λ^是最小方差无偏估计。
由中心极限定理可知，当样本量n充分大时，样本均值x的分布趋近于正态分布，且其均值为总体均值1/λ，方差为总体方差除以样本量n，即：
E(x) = 1/λ
Var(x) = 1/(nλ^2)

因此，λ^{是无偏估计，即E(λ}) = 1/λ。
接下来需要证明λ^是最小方差无偏估计，即其方差最小。根据方差的定义，有：

Var(λ^) = E[(λ^ - 1/λ)^2] = E[(n/∑xi - 1/λ)^2]

将上式展开，得到：

Var(λ^) = E[(n^2/∑xi2 - 2n/λ∑xi + 1/λ^2)]

由于每个样本值xi都是独立同分布的指数分布，因此有：

E(xi) = 1/λ
E(xi^2) = 2/λ^2

带入上式，可得：

Var(λ^) = [n^2/∑xi2 - 2n/λ∑xi + n/λ^2]/n2

将λ^代入上式，可得：

Var(λ^) = 1/[n(∑xi/n)^2]

因此，λ^是具有最小方差的无偏估计。

3. 假设总体服从二项分布，已知样本中成功的次数为x，样本量为n，求二项分布的参数p的极大似然估计。

解题过程：
根据二项分布的概率质量函数，可以写出样本的似然函数：
L(p|x,n) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)
对似然函数取对数，可得到：
lnL(p|x,n) = ln[C(n,x)] + xlnp + (n-x)ln(1-p)
为了求p的极大似然估计，需要对似然函数求导：
∂lnL/∂p = x/p - (n-x)/(1-p)
令上式等于0，得到p的极大似然估计：
p^ = x/n

接下来需要证明p^是最小方差无偏估计。
由中心极限定理可知，当样本量n充分大时，样本均值x/n的分布趋近于正态分布，且其均值为总体均值p，方差为总体方差除以样本量n，即：

E(x/n) = p
Var(x/n) = p(1-p)/n

因此，p^{是无偏估计，即E(p}) = p。
接下来需要证明p^是最小方差无偏估计，即其方差最小。根据方差的定义，有：

Var(p^) = E[(p^ - p)^2] = E[(x/n - p)^2]

将上式展开，得到：

Var(p^) = E[(x^2 - 2xpn + p²ⁿ2)/n^2] = E(x^2)/n2 - 2pE(x)/n + p^2

由于x服从二项分布，因此有：

E(x^2) = np(1-p) + n^2p2

带入上式，可得：

Var(p^) = (1-p)/n - p^2/n

将p^代入上式，可得：

Var(p^) = p(1-p)/n

因此，p^是具有最小方差的无偏估计。

6 正态总体均值的假设检验，并根据Ⅱ类风险确定样本容量
假设我们有一个样本 X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1,X_2,\\cdots,X_n X1​,X2​,⋯,Xn​，且知道该样本来自一个正态分布总体 N ( μ , σ 2 ) N(\\mu,\\sigma^2) N(μ,σ2)，我们需要进行关于总体均值 $\mu$ 的假设检验。假设检验的零假设为 H 0 : μ = μ 0 H_0:\\mu=\\mu_0 H0​:μ=μ0​，备择假设为 H 1 : μ ≠ μ 0 H_1:\\mu\\neq\\mu_0 H1​:μ​=μ0​，其中 μ 0 \\mu_0 μ0​ 是一个已知的常数。根据样本均值 X ˉ \\bar{X} Xˉ 可以构建样本均值的统计量 Z = X ˉ − μ 0 σ n Z=\\frac{\\bar{X}-\\mu_0}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}} Z=n ​σ​Xˉ−μ0​​，其中 $\sigma$ 是总体标准差。在零假设成立的情况下，$Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。我们可以使用 $Z$ 分布进行假设检验。

以下是三个关于正态总体均值的假设检验的例题及解题过程和答案：

例题1：

某厂家声称其生产的螺丝钉长度均值为 $5.2$ 毫米。现从其中抽取 $50$ 只进行测量，得到样本均值为 $5.1$ 毫米，样本标准差为 $0.6$ 毫米。以显著性水平 $\alpha =0.05$ 进行假设检验，判断该厂家声称的均值是否正确。

解题过程：

（1）确定假设检验的零假设和备择假设：

H 0 : μ = 5.2 H_0:\\mu=5.2 H0​:μ=5.2

H 1 : μ ≠ 5.2 H_1:\\mu\\neq5.2 H1​:μ​=5.2

（2）确定显著性水平 $\alpha$，并根据 $\alpha$ 确定临界值：

$\alpha =0.05$，根据正态分布表可得左尾和右尾临界值分别为 $-1.96$ 和 $1.96$。

（3）计算样本统计量 $Z$：

Z = X ˉ − μ 0 σ n = 5.1 − 5.2 0.6 50 = − 1.63 Z=\\frac{\\bar{X}-\\mu_0}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}}=\\frac{5.1-5.2}{\\frac{0.6}{\\sqrt{50}}}=-1.63 Z=n ​σ​Xˉ−μ0​​=50 ​0.6​5.1−5.2​=−1.63

（4）判断样本统计量 $Z$ 是否落在拒绝域内：

因为 $-1.96<-1.63<1.96$，所以样本统计量 $Z$ 不在拒绝域内，即不拒绝零假设。

（5）得出结论：

在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下，不能拒绝厂家声称的均值为 $5.2$ 毫米的零假设。即厂家声称的均值可能是正确的。

答案：不能拒绝零假设，即厂家声称的均值可能是正确的。

例题2：

一家快递公司声称其派送快递的平均送达时间不超过 $1$ 小时。为了检验该声称的真实性，随机抽取 $16$ 个订单，得到样本平均送达时间为 $1.2$ 小时，样本标准差为 $0.3$ 小时。以显著性水平 $\alpha =0.01$ 进行假设检验，判断该声称是否正确。

解题过程：

（1）确定假设检验的零假设和备择假设：

H 0 : μ ≤ 1 H_0:\\mu\\leq1 H0​:μ≤1

H 1 : μ > 1 H_1:\\mu>1 H1​:μ>1

（2）确定显著性水平 $\alpha$，并根据 $\alpha$ 确定临界值：

$\alpha =0.01$，根据正态分布表可得右尾临界值为 $2.33$。

（3）计算样本统计量 $Z$：

Z = X ˉ − μ 0 σ n = 1.2 − 1 0.3 16 = 4 Z=\\frac{\\bar{X}-\\mu_0}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}}=\\frac{1.2-1}{\\frac{0.3}{\\sqrt{16}}}=4 Z=n ​σ​Xˉ−μ0​​=16 ​0.3​1.2−1​=4

（4）判断样本统计量 $Z$ 是否落在拒绝域内：

因为 $4>2.33$，所以样本统计量 $Z$ 落在拒绝域内，即拒绝零假设。

（5）得出结论：

在显著性水平 $\alpha =0.01$ 下，可以拒绝快递公司声称的平均送达时间不超过 $1$ 小时的零假设。即快递公司声称的时间可能不正确。

答案：拒绝零假设，即快递公司声称的时间可能不正确。

例题3：

某学校声称其学生的身高均值在 $170$ 厘米左右。为了检验该声称的真实性，随机抽取 $100$ 名学生进行测量，得到样本均值为 $172$ 厘米，样本标准差为 $4$ 厘米。若要保证第二类错误的概率不超过 $0.1$，该学校最少需要抽取多少名学生？

解题过程：

（1）确定假设检验的零假设和备择假设：

H 0 : μ = 170 H_0:\\mu=170 H0​:μ=170

H 1 : μ > 170 H_1:\\mu>170 H1​:μ>170

（2）确定显著性水平 $\alpha$，并根据 $\alpha$ 确定临界值：

因为该题要求保证第二类错误的概率不超过 $0.1$，所以我们需要计算出第二类错误的概率 $\beta$。根据题意可知，第二类错误指的是当备择假设为真时，错误地接受了零假设。因此，我们需要确定备择假设下的样本均值的分布。

当备择假设为真时，总体的均值为 μ 1 > 170 \\mu_1>170 μ1​>170，样本均值 X ˉ \\bar{X} Xˉ 的分布为 N ( μ 1 , σ 2 n ) N(\\mu_1,\\frac{\\sigma^2}{n}) N(μ1​,nσ2​)。设样本均值为 x 0 = 170 + z α σ n x_0=170+z_{\\alpha}\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} x0​=170+zα​n ​σ​，则备择假设下的样本均值的分布如下：

p ( X ˉ ∣ H 1 ) = p ( X ˉ > x 0 ˉ ∣ μ = μ 1 ) = p ( X ˉ − μ 1 σ n > z α ∣ μ = μ 1 ) = 1 − Φ ( z α − μ 1 − x 0 ˉ σ n ) p(\\bar{X}|H_1)=p(\\bar{X}>\\bar{x_0}|\\mu=\\mu_1)=p(\\frac{\\bar{X}-\\mu_1}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}}>z_{\\alpha}|\\mu=\\mu_1)=1-\\Phi(z_{\\alpha}-\\frac{\\mu_1-\\bar{x_0}}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}}) p(Xˉ∣H1​)=p(Xˉ>x0​ˉ​∣μ=μ1​)=p(n ​σ​Xˉ−μ1​​>zα​∣μ=μ1​)=1−Φ(zα​−n ​σ​μ1​−x0​ˉ​​)

其中，$\Phi (x)$ 表示标准正态分布的累积分布函数。

根据题意可知，$\beta =0.1$， z α = 1.645 z_{\\alpha}=1.645 zα​=1.645（$0.05$ 的右尾临界值），$\sigma =4$。因为 $n$ 未知，所以需要求出样本容量 $n$。

将上述数据带入上式，得到：

0.1 = 1 − Φ ( 1.645 − μ 1 − x 0 ˉ 1 ) 0.1=1-\\Phi(1.645-\\frac{\\mu_1-\\bar{x_0}}{1}) 0.1=1−Φ(1.645−1μ1​−x0​ˉ​​)

将 μ 1 = x ˉ + k σ n \\mu_1=\\bar{x}+k\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} μ1​=xˉ+kn ​σ​ 代入上式，得到：

0.1 = 1 − Φ ( 1.645 − k n 4 n ) = Φ ( k n 4 − 1.645 ) 0.1=1-\\Phi(1.645-\\frac{k\\sqrt{n}}{4\\sqrt{n}})=\\Phi(\\frac{k\\sqrt{n}}{4}-1.645) 0.1=1−Φ(1.645−4n ​kn ​​)=Φ(4kn ​​−1.645)

查表可得，$\Phi (1.28)\le 0.1<\Phi (1.29)$，即 k n 4 = 1.28 \\frac{k\\sqrt{n}}{4}=1.28 4kn ​​=1.28，解得 $n\ge 20.51$。

因此，最少需要抽取 $n=21$ 名学生。

（3）计算样本统计量 $Z$：

在样本容量为 $21$ 的情况下，计算样本统计量 $Z$：

Z = X ˉ − μ 0 σ n = 172 − 170 4 21 = 2.65 Z=\\frac{\\bar{X}-\\mu_0}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}}=\\frac{172-170}{\\frac{4}{\\sqrt{21}}}=2.65 Z=n ​σ​Xˉ−μ0​​=21 ​4​172−170​=2.65

（4）判断样本统计量 $Z$ 是否落在拒绝域内：

因为 $Z>1.645$，所以样本统计量 $Z$ 落在拒绝域内，即拒绝零假设。

（5）得出结论：

在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下，可以拒绝学校声称的学生身高均值在 $170$ 厘米左右的零假设。即学校声称的均值可能不正确。

答案：最少需要抽取 $n=21$ 名学生。

7 线性正态回归模型参数的最小二乘估计，并判断这些估计量是否独立

线性正态回归模型是一类常用的统计模型，它可以用于分析自变量与因变量之间的关系，并对未知参数进行估计。最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，它的思想是选择一组估计量，使得它们与原始数据之间的差异最小。在线性正态回归模型中，最小二乘估计可以用于估计模型的回归系数和截距。

以下是三个关于线性正态回归模型参数的最小二乘估计的例题及解题过程和答案：

例题1：

某公司想要了解其销售额与广告投资的关系。该公司在过去 $5$ 个月内进行了广告投资，并记录了每个月的广告投资和销售额。数据如下表所示：

月份	广告投资（万元）	销售额（万元）
1	3.5	12.5
2	2.7	9.6
3	4.8	15.6
4	6.1	18.1
5	7.2	21.5

现在假设广告投资和销售额之间存在线性关系，即存在一条直线可以较好地拟合这些数据。可以使用最小二乘法得到回归系数和截距的估计量。

解题过程：

（1）计算两个变量的样本均值和样本方差：

x ˉ = ∑ i = 1 5 x i 5 = 4.86 \\bar{x}=\\frac{\\sum_{i=1}^5x_i}{5}=4.86 xˉ=5∑i=15​xi​​=4.86

y ˉ = ∑ i = 1 5 y i 5 = 15.86 \\bar{y}=\\frac{\\sum_{i=1}^5y_i}{5}=15.86 yˉ​=5∑i=15​yi​​=15.86

s x 2 = ∑ i = 1 5 ( x i − x ˉ ) 2 4 = 3.18 s_x^2=\\frac{\\sum_{i=1}^5(x_i-\\bar{x})^2}{4}=3.18 sx2​=4∑i=15​(xi​−xˉ)2​=3.18

s y 2 = ∑ i = 1 5 ( y i − y ˉ ) 2 4 = 12.55 s_y^2=\\frac{\\sum_{i=1}^5(y_i-\\bar{y})^2}{4}=12.55 sy2​=4∑i=15​(yi​−yˉ​)2​=12.55

（2）计算样本的协方差：

s x y = ∑ i = 1 5 ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) 4 = 12.42 s_{xy}=\\frac{\\sum_{i=1}^5(x_i-\\bar{x})(y_i-\\bar{y})}{4}=12.42 sxy​=4∑i=15​(xi​−xˉ)(yi​−yˉ​)​=12.42

（3）计算回归系数和截距的估计量：

b = s x y s x 2 = 3.9 b=\\frac{s_{xy}}{s_x^2}=3.9 b=sx2​sxy​​=3.9

a = y ˉ − b x ˉ = 0.79 a=\\bar{y}-b\\bar{x}=0.79 a=yˉ​−bxˉ=0.79

（4）判断估计量是否独立：

在最小二乘法中，回归系数和截距的估计量是独立的。因此，这些估计量是独立的。

答案：回归系数和截距的估计量是独立的。

例题2：

某地区的房屋价格与建筑面积有关。为了分析这种关系，随机抽取了 $20$ 栋房屋，并记录了它们的建筑面积和售价。数据如下表所示：

序号	建筑面积（平方米）	售价（万元）
1	76	420
2	68	380
3	81	460
4	93	550
5	75	400
6	87	500
7	71	370
8	83	480
9	69	380
10	78	410
11	72	390
12	80	460
13	84	500
14	75	390
15	96	580
16	85	490
17	70	380
18	79	420
19	73	400
20	90	550

现在假设房价与建筑面积之间存在线性关系，即存在一条直线可以较好地拟合这些数据。可以使用最小二乘法得到回归系数和截距的估计量。

解题过程：

（1）计算两个变量的样本均值和样本方差：

x ˉ = ∑ i = 1 20 x i 20 = 79.15 \\bar{x}=\\frac{\\sum_{i=1}^{20}x_i}{20}=79.15 xˉ=20∑i=120​xi​​=79.15

y ˉ = ∑ i = 1 20 y i 20 = 445 \\bar{y}=\\frac{\\sum_{i=1}^{20}y_i}{20}=445 yˉ​=20∑i=120​yi​​=445

s x 2 = ∑ i = 1 20 ( x i − x ˉ ) 2 19 = 88.21 s_x^2=\\frac{\\sum_{i=1}^{20}(x_i-\\bar{x})^2}{19}=88.21 sx2​=19∑i=120​(xi​−xˉ)2​=88.21

s y 2 = ∑ i = 1 20 ( y i − y ˉ ) 2 19 = 2615.26 s_y^2=\\frac{\\sum_{i=1}^{20}(y_i-\\bar{y})^2}{19}=2615.26 sy2​=19∑i=120​(yi​−yˉ​)2​=2615.26

（2）计算样本的协方差：

s x y = ∑ i = 1 20 ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) 19 = 1210.75 s_{xy}=\\frac{\\sum_{i=1}^{20}(x_i-\\bar{x})(y_i-\\bar{y})}{19}=1210.75 sxy​=19∑i=120​(xi​−xˉ)(yi​−yˉ​)​=1210.75

（3）计算回归系数和截距的估计量：

b = s x y s x 2 = 13.7 b=\\frac{s_{xy}}{s_x^2}=13.7 b=sx2​sxy​​=13.7

a = y ˉ − b x ˉ = − 10.82 a=\\bar{y}-b\\bar{x}=-10.82 a=yˉ​−bxˉ=−10.82

（4）判断估计量是否独立：

在最小二乘法中，回归系数和截距的估计量是独立的。因此，这些估计量是独立的。

答案：回归系数和截距的估计量是独立的。

例题3：

某商店想要了解其销售额与广告投资和店铺大小之间的关系。该商店在过去 $10$ 个月内进行了广告投资，并记录了每个月的广告投资、店铺面积和销售额。数据如下表所示：

月份	广告投资（万元）	店铺面积（平方米）	销售额（万元）
1	3.5	52	12.5
2	2.7	45	9.6
3	4.8	63	15.6
4	6.1	75	18.1
5	7.2	85	21.5
6	4.4	55	13.2
7	5.2	60	15.3
8	6.8	80	19.2
9	7.7	90	23.1
10	9.1	100	26.6

现在假设店铺面积和广告投资对销售额有影响，即存在一条直线可以较好地拟合这些数据。可以使用最小二乘法得到回归系数和截距的估计量。

解题过程：

（1）计算三个变量的样本均值和样本方差：

x 1 ˉ = ∑ i = 1 10 x 1 i 10 = 5.87 \\bar{x_1}=\\frac{\\sum_{i=1}^{10}x_{1i}}{10}=5.87 x1​ˉ​=10∑i=110​x1i​​=5.87

x 2 ˉ = ∑ i = 1 10 x 2 i 10 = 69 \\bar{x_2}=\\frac{\\sum_{i=1}^{10}x_{2i}}{10}=69 x2​ˉ​=10∑i=110​x2i​​=69

y ˉ = ∑ i = 1 10 y i 10 = 17.38 \\bar{y}=\\frac{\\sum_{i=1}^{10}y_i}{10}=17.38 yˉ​=10∑i=110​yi​​=17.38

s x 1 2 = ∑ i = 1 10 ( x 1 i − x 1 ˉ ) 2 9 = 3.47 s_{x_1}^2=\\frac{\\sum_{i=1}^{10}(x_{1i}-\\bar{x_1})^2}{9}=3.47 sx1​2​=9∑i=110​(x1i​−x1​ˉ​)2​=3.47

s x 2 2 = ∑ i = 1 10 ( x 2 i − x 2 ˉ ) 2 9 = 334.32 s_{x_2}^2=\\frac{\\sum_{i=1}^{10}(x_{2i}-\\bar{x_2})^2}{9}=334.32 sx2​2​=9∑i=110​(x2i​−x2​ˉ​)2​=334.32

s y 2 = ∑ i = 1 10 ( y i − y ˉ ) 2 9 = 16.01 s_y^2=\\frac{\\sum_{i=1}^{10}(y_i-\\bar{y})^2}{9}=16.01 sy2​=9∑i=110​(yi​−yˉ​)2​=16.01

（2）计算样本的协方差：

s x 1 y = ∑ i = 1 10 ( x 1 i − x 1 ˉ ) ( y i − y ˉ ) 9 = 6.19 s_{x_1y}=\\frac{\\sum_{i=1}^{10}(x_{1i}-\\bar{x_1})(y_i-\\bar{y})}{9}=6.19 sx1​y​=9∑i=110​(x1i​−x1​ˉ​)(yi​−yˉ​)​=6.19

s x 2 y = ∑ i = 1 10 ( x 2 i − x 2 ˉ ) ( y i − y ˉ ) 9 = 1.2 s_{x_2y}=\\frac{\\sum_{i=1}^{10}(x_{2i}-\\bar{x_2})(y_i-\\bar{y})}{9}=1.2 sx2​y​=9∑i=110​(x2i​−x2​ˉ​)(yi​−yˉ​)​=1.2

（3）计算回归系数和截距的估计量：

b 1 = s x 1 y s x 1 2 = 1.78 b_1=\\frac{s_{x_1y}}{s_{x_1}^2}=1.78 b1​=sx1​2​sx1​y​​=1.78

b 2 = s x 2 y s x 2 2 = 0.0036 b_2=\\frac{s_{x_2y}}{s_{x_2}^2}=0.0036 b2​=sx2​2​sx2​y​​=0.0036

a = y ˉ − b 1 x 1 ˉ − b 2 x 2 ˉ = − 1.25 a=\\bar{y}-b_1\\bar{x_1}-b_2\\bar{x_2}=-1.25 a=yˉ​−b1​x1​ˉ​−b2​x2​ˉ​=−1.25

（4）判断估计量是否独立：

在最小二乘法中，回归系数和截距的估计量是独立的。因此，这些估计量是独立的。

答案：回归系数和截距的估计量是独立的。