【泛函分析】Riemann-Stieltjes 积分

定义. 已知区间 $[a,b]$, $f(x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的有界实值函数, $\alpha (x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上且单调递增的实值函数, 对于 $[a,b]$ 上的任一分割 T = { Δ 1 , . . . , Δ n } T=\\{\\Delta_{1},...,\\Delta_{n}\\} T={Δ1​,...,Δn​}, 其中 Δ i = [ x i − 1 , x i ] \\Delta_{i}=[x_{i-1},x_{i}] Δi​=[xi−1​,xi​] 和任一点列 { ξ i } \\{\\xi_{i}\\} {ξi​}, ξ i ∈ Δ i \\xi_{i}\\in \\Delta_{i} ξi​∈Δi​, $i=1,...,n$, 定义和式
∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) \\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})(\\alpha(x_{i})-\\alpha(x_{i-1})) i=1∑n​f(ξi​)(α(xi​)−α(xi−1​))
为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个 Riemann-Stieltjes (下文简称 R-S) 和. 当 $\parallel T\parallel \to 0$ 时 R-S 和的极限称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的 R-S 定积分, 记为 ∫ a b f ( x ) d α ( x ) \\int_{a}^{b}f(x)\\mathrm{d}\\alpha(x) ∫ab​f(x)dα(x). 如果该极限存在, 则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 R-S 可积.

R-S 定积分的 $ϵ-\delta$ 定义: 若存在实数 $J$, 使得对于 $\forall ϵ>0$, 存在 $\delta >0$, 使得对于任意分割 T = { Δ 1 , … , Δ n } T=\\{\\Delta_{1},\\dots,\\Delta_{n}\\} T={Δ1​,…,Δn​}, $\parallel T\parallel \le \delta$, 和任意点列 { ξ i } \\{\\xi_{i}\\} {ξi​}, ξ i ∈ Δ i \\xi_{i}\\in \\Delta_{i} ξi​∈Δi​, $i=1,\dots ,n$, 有
∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) − J ∣ ≤ ϵ |\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})(\\alpha(x_{i})-\\alpha(x_{i-1}))-J|\\leq \\epsilon ∣i=1∑n​f(ξi​)(α(xi​)−α(xi−1​))−J∣≤ϵ
则称 $J$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的 R-S 定积分.
为便于叙述, 记分割 $T$ 经 $\alpha$ 映射得到的分割 α ( a ) = α ( x 0 ) ≤ α ( x 1 ) ≤ ⋯ ≤ α ( x n ) = α ( b ) \\alpha(a) = \\alpha(x_{0})\\leq \\alpha(x_{1})\\leq \\cdots \\leq \\alpha(x_{n})=\\alpha(b) α(a)=α(x0​)≤α(x1​)≤⋯≤α(xn​)=α(b) 为 $\alpha (T)$, 它的细度为 $\Vert \alpha (T)\Vert$.

定义. 对于任意的分割 $T$, 由于函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界, 因此其必然在所有分段 Δ i \\Delta_{i} Δi​ 上有界, 进而有上确界和下确界. 进一步地, 设 m i = inf ⁡ x ∈ Δ i f ( x ) m_{i}=\\inf\\limits_{x\\in \\Delta_{i}}f(x) mi​=x∈Δi​inf​f(x), M i = sup ⁡ x ∈ Δ i f ( x ) M_{i}=\\sup\\limits_{x\\in \\Delta_{i}}f(x) Mi​=x∈Δi​sup​f(x), $i=1,\dots ,n$, 定义和式 ∑ i = 1 n m i ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) , ∑ i = 1 n M i ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) \\sum\\limits_{i=1}^{n}m_{i}(\\alpha(x_{i})-\\alpha(x_{i-1})), \\quad \\sum\\limits_{i=1}^{n}M_{i}(\\alpha(x_{i})-\\alpha(x_{i-1})) i=1∑n​mi​(α(xi​)−α(xi−1​)),i=1∑n​Mi​(α(xi​)−α(xi−1​)) 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上关于分割 $T$ 的达布下和和达布上和, 分别记为 $s(T)$ 和 $S(T)$, 可见达布上和与达布下和仅与分割 $T$ 有关, 是从属于 $T$ 的两个属性. 显然 $m(\alpha (b)-\alpha (a))\le s(T)\le S(T)\le M(\alpha (b)-\alpha (a))$, 其中 M = sup ⁡ x ∈ [ a , b ] f ( x ) M=\\sup\\limits_{x\\in [a,b]}f(x) M=x∈[a,b]sup​f(x), m = inf ⁡ x ∈ [ a , b ] f ( x ) m=\\inf\\limits_{x\\in [a,b]}f(x) m=x∈[a,b]inf​f(x). 对于 $T$ 上的任一点列 { ξ i } \\{\\xi_{i}\\} {ξi​}, ξ i ∈ Δ i \\xi_{i}\\in \\Delta_{i} ξi​∈Δi​, $i=1,\dots ,n$, R-S 和 s ( T ) ≤ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) ≤ S ( T ) s(T) \\leq \\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})(\\alpha (x_{i})-\\alpha(x_{i-1}))\\leq S(T) s(T)≤i=1∑n​f(ξi​)(α(xi​)−α(xi−1​))≤S(T). 整理一下得到: 对于任意的分割 $T$ 及 $T$ 上的点列 { ξ i } \\{\\xi_{i}\\} {ξi​}, ξ i ∈ Δ i \\xi_{i}\\in \\Delta_{i} ξi​∈Δi​, $i=1,\dots ,n$, 有
m ( α ( b ) − α ( a ) ) ≤ s ( T ) ≤ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) ≤ S ( T ) ≤ M ( α ( b ) − α ( a ) ) m(\\alpha(b)-\\alpha(a))\\leq s(T)\\leq \\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})(\\alpha(x_{i})-\\alpha(x_{i-1}))\\leq S(T) \\leq M(\\alpha(b)-\\alpha(a)) m(α(b)−α(a))≤s(T)≤i=1∑n​f(ξi​)(α(xi​)−α(xi−1​))≤S(T)≤M(α(b)−α(a))
可以证明: 分割 $T$ 的达布上和与达布下和分别是分割 $T$ 与 $T$ 上的所有点列 { ξ i } \\{\\xi_{i}\\} {ξi​}, ξ i ∈ Δ i \\xi_{i}\\in \\Delta_{i} ξi​∈Δi​, $i=1,\dots ,n$, 对应 R-S 和的上下确界, 即
s ( T ) = inf ⁡ { ξ i } ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) , S ( T ) = sup ⁡ { ξ i } ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) s(T)=\\inf\\limits_{\\{\\xi_{i}\\}}\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})(\\alpha (x_{i})-\\alpha(x_{i-1})),\\ S(T)=\\sup\\limits_{\\{\\xi_{i}\\}}\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})(\\alpha (x_{i})-\\alpha (x_{i-1})) s(T)={ξi​}inf​i=1∑n​f(ξi​)(α(xi​)−α(xi−1​)), S(T)={ξi​}sup​i=1∑n​f(ξi​)(α(xi​)−α(xi−1​))
证明: 仅证明 S ( T ) = sup ⁡ { ξ i } ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) S(T)=\\sup\\limits_{\\{\\xi_{i}\\}}\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})(\\alpha (x_{i})-\\alpha (x_{i-1})) S(T)={ξi​}sup​i=1∑n​f(ξi​)(α(xi​)−α(xi−1​)), 关于 $s(T)$ 的结论可以用类似方式证明.

当 $\alpha (b)-\alpha (a)\ne 0$ 时, 对于 $\forall ϵ>0$, 在任意一个分段 Δ i ∈ { Δ 1 , . . . , Δ n } \\Delta_{i}\\in \\{\\Delta_{1},...,\\Delta_{n}\\} Δi​∈{Δ1​,...,Δn​} 上, 由于 M i = sup ⁡ x ∈ Δ i f ( x ) M_{i}=\\sup\\limits_{x\\in \\Delta_{i}}f(x) Mi​=x∈Δi​sup​f(x), 因此存在 ξ i ∈ Δ i \\xi_{i}\\in \\Delta_{i} ξi​∈Δi​, 使得 f ( ξ i ) ≥ M i − ϵ α ( b ) − α ( a ) f(\\xi_{i})\\geq M_{i}-\\frac{\\epsilon}{\\alpha(b)-\\alpha(a)} f(ξi​)≥Mi​−α(b)−α(a)ϵ​, 由此构造出点列 { ξ i } \\{\\xi_{i}\\} {ξi​}, ξ i ∈ Δ i \\xi_{i}\\in \\Delta_{i} ξi​∈Δi​, $i=1,\dots ,n$. $T$ 和 { ξ i } \\{\\xi_{i}\\} {ξi​} 对应的黎曼和满足
S ( T ) − ϵ = ∑ i = 1 n ( M i − ϵ α ( b ) − α ( a ) ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) ≤ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ≤ S ( T ) S(T)-\\epsilon=\\sum\\limits_{i=1}^{n}(M_{i}-\\frac{\\epsilon}{\\alpha(b)-\\alpha(a)})(\\alpha(x_{i})-\\alpha(x_{i-1})) \\leq \\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})\\Delta x_{i}\\leq S(T) S(T)−ϵ=i=1∑n​(Mi​−α(b)−α(a)ϵ​)(α(xi​)−α(xi−1​))≤i=1∑n​f(ξi​)Δxi​≤S(T)
当 $\alpha (b)-\alpha (a)=0$ 时, 显然 $\alpha (x)$ 为常数, 进而 m ( α ( b ) − α ( a ) ) = s ( T ) = ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) = S ( T ) = M ( α ( b ) − α ( a ) ) = 0 m(\\alpha(b)-\\alpha(a))=s(T)=\\sum\\limits_{i=1}^{n}f(\\xi_{i})(\\alpha (x_{i})-\\alpha (x_{i-1}))=S(T)=M(\\alpha(b)-\\alpha(a))=0 m(α(b)−α(a))=s(T)=i=1∑n​f(ξi​)(α(xi​)−α(xi−1​))=S(T)=M(α(b)−α(a))=0, 结论亦成立.

定理1.. 若分割 T ′ T' T′ 是在分割 $T$ 的基础上增加 $p$ 个分点得到的, 则
s ( T ) + ( M − m ) p ∥ α ( T ) ∥ ≥ s ( T ′ ) ≥ s ( T ) s(T)+(M-m)p \\parallel \\alpha(T) \\parallel \\geq s(T') \\geq s(T) s(T)+(M−m)p∥α(T)∥≥s(T′)≥s(T)

S ( T ) − ( M − m ) p ∥ α ( T ) ∥ ≤ S ( T ′ ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m)p \\parallel \\alpha(T) \\parallel \\leq S(T') \\leq S(T) S(T)−(M−m)p∥α(T)∥≤S(T′)≤S(T)

证明: 我们证明 S ( T ) − ( M − m ) p ∥ α ( T ) ∥ ≤ S ( T ′ ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m)p \\parallel \\alpha(T) \\parallel \\leq S(T') \\leq S(T) S(T)−(M−m)p∥α(T)∥≤S(T′)≤S(T), 关于 $s(T)$ 的结论可类似证明.

当 $p=1$ 时, 设新增的分点在第 $k$ 个子区间, 达布上和中这一区间对应的项变为
M i Δ x i → M i ′ Δ x i ′ + M i ′ ′ Δ x i ′ ′ M_{i}\\Delta x_{i}\\rightarrow M_{i}'\\Delta x_{i}'+ M_{i}''\\Delta x_{i}'' Mi​Δxi​→Mi′​Δxi′​+Mi′′​Δxi′′​
这里 M i ′ M_{i}' Mi′​ 和 M i ′ ′ M_{i}'' Mi′′​ 分别是插入分点左侧和右侧的区间上的最大值, Δ x i ′ \\Delta x_{i}' Δxi′​ 和 Δ x i ′ ′ \\Delta x_{i}'' Δxi′′​ 分别是插入分点左侧和右侧的区间长度. 显然 M i ′ M_{i}' Mi′​ 和 M i ′ ′ M_{i}'' Mi′′​ 都不超过 $M$, 插入分点前后的此项的差值为
M i ′ Δ x i ′ + M i ′ ′ Δ x i ′ ′ − M i Δ x i = ( M i ′ − M i ) Δ x i ′ + ( M i ′ ′ − M i ) Δ x i ′ ′ ≤ 0 M_{i}'\\Delta x_{i}'+ M_{i}''\\Delta x_{i}''-M_{i}\\Delta x_{i} =(M_{i}'-M_{i})\\Delta x_{i}'+(M_{i}''-M_{i})\\Delta x_{i}'' \\leq 0 Mi′​Δxi′​+Mi′′​Δxi′′​−Mi​Δxi​=(Mi′​−Mi​)Δxi′​+(Mi′′​−Mi​)Δxi′′​≤0
由于 M i − M i ′ ≤ M i − m i ≤ M − m M_{i}-M_{i}'\\leq M_{i}-m_{i}\\leq M-m Mi​−Mi′​≤Mi​−mi​≤M−m, M i − M i ′ ′ ≤ M i − m i ≤ M − m M_{i}-M_{i}''\\leq M_{i}-m_{i}\\leq M-m Mi​−Mi′′​≤Mi​−mi​≤M−m, Δ x i ′ ≤ ∥ α ( T ) ∥ \\Delta x_{i}'\\leq \\parallel \\alpha(T) \\parallel Δxi′​≤∥α(T)∥, Δ x i ′ ′ ≤ ∥ α ( T ) ∥ \\Delta x_{i}'' \\leq \\parallel \\alpha(T) \\parallel Δxi′′​≤∥α(T)∥

因此 S ( T ) − ( M − m ) ∥ α ( T ) ∥ ≤ S ( T ′ ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m) \\parallel \\alpha(T) \\parallel \\leq S(T') \\leq S(T) S(T)−(M−m)∥α(T)∥≤S(T′)≤S(T).
若 $p=n-1$ 时成立, 求证 $p=n$ 时成立: 设插入 $n-1$ 个分点后得到 T n − 1 T^{n-1} Tn−1, 根据归纳假设,
S ( T ) − ( M − m ) ( n − 1 ) ∥ α ( T ) ∥ ≤ S ( T n − 1 ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m) (n-1) \\parallel \\alpha(T) \\parallel \\leq S(T^{n-1}) \\leq S(T) S(T)−(M−m)(n−1)∥α(T)∥≤S(Tn−1)≤S(T)
此时再插入一点, 得到 T n T^{n} Tn, 由 $p=1$ 的结论, 有
S ( T n − 1 ) − ( M − m ) ∥ α ( T n − 1 ) ∥ ≤ S ( T n ) ≤ S ( T n − 1 ) S(T^{n-1})-(M-m) \\parallel \\alpha(T^{n-1}) \\parallel \\leq S(T^{n}) \\leq S(T^{n-1}) S(Tn−1)−(M−m)∥α(Tn−1)∥≤S(Tn)≤S(Tn−1)
由于 ∥ α ( T n − 1 ) ∥ ≤ ∥ α ( T ) ∥ \\parallel \\alpha(T^{n-1}) \\parallel\\leq \\parallel \\alpha(T) \\parallel ∥α(Tn−1)∥≤∥α(T)∥, 再结合 $p=n-1$ 时的结论, 有
S ( T ) − ( M − m ) n ∥ α ( T ) ∥ ≤ S ( T n ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m)n \\parallel \\alpha(T) \\parallel \\leq S(T^{n}) \\leq S(T) S(T)−(M−m)n∥α(T)∥≤S(Tn)≤S(T)
证毕.

定理2. 对于任意分割 $T$ 和 T ′ T' T′, T ′ T' T′ 的达布上和不会低于 $T$ 的达布下和, 达布下和不会高于 $T$ 的达布上和, 即
s ( T ′ ) ≤ S ( T ) s(T')\\leq S(T) s(T′)≤S(T)

S ( T ′ ) ≥ s ( T ) S(T') \\geq s(T) S(T′)≥s(T)

证明:

设 $T$ 和 T ′ T' T′ 的分点合并后得到 T + T ′ T+T' T+T′, 根据定理4.4.2, 有
s ( T ′ ) ≤ s ( T + T ′ ) ≤ S ( T + T ′ ) ≤ S ( T ) s(T') \\leq s(T+T')\\leq S(T+T')\\leq S(T) s(T′)≤s(T+T′)≤S(T+T′)≤S(T)

s ( T ) ≤ s ( T + T ′ ) ≤ S ( T + T ′ ) ≤ S ( T ′ ) s(T) \\leq s(T+T')\\leq S(T+T')\\leq S(T') s(T)≤s(T+T′)≤S(T+T′)≤S(T′)

证毕.

对于任意的分割 $T$, $m(\alpha (b)-\alpha (a))\le s(T)\le S(T)\le M(\alpha (b)-\alpha (a))$, 因此 $s(T)$ 有上界, $S(T)$ 有下界, 进而 $s(T)$ 有上确界, $S(T)$ 有下确界.

定理3. 上下积分, 也就是达布上和的下确界和达布下和的上确界, 分别等于达布上和达布下和在 $\Vert T\Vert \to 0$ 时的极限, 即 S = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) S=\\lim\\limits_{\\parallel T \\parallel\\rightarrow 0} S(T) S=∥T∥→0lim​S(T), s = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) s=\\lim\\limits_{\\parallel T \\parallel\\rightarrow 0} s(T) s=∥T∥→0lim​s(T).

证明: 下面证明 S = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) S=\\lim\\limits_{\\parallel T \\parallel\\rightarrow 0} S(T) S=∥T∥→0lim​S(T), 关于 $s(T)$ 的结论可类似证明.

即证: 对于 $\forall ϵ>0$, 存在 $\delta >0$, 对于任意的分割 $T$, $\parallel T\parallel \le \delta$, 必有
$$S(T)-S\le ϵ$$
由下确界的定义, 对于任意 ϵ ′ > 0 \\epsilon'\\gt 0 ϵ′>0, 必然存在分割 $T$, 使得 S ≤ S ( T ) ≤ S + ϵ ′ S\\leq S(T)\\leq S+\\epsilon' S≤S(T)≤S+ϵ′,

对于任意分割 T ′ T' T′, 记 $T$ 和 T ′ T' T′ 合并后的分割为 T + T ′ T+T' T+T′, 对于 $T$ 而言, T + T ′ T+T' T+T′ 至多新增了 p T ′ p_{T'} pT′​ 个点, 对于 T ′ T' T′ 而言, T + T ′ T+T' T+T′ 至多新增了 p T p_{T} pT​ 个点, 由定理4.4.2, 有
S ( T ′ ) − ( M − m ) p T ′ ∥ T ′ ∥ ≤ S ( T + T ′ ) ≤ S ( T ′ ) S(T')-(M-m)p_{T'}\\parallel T'\\parallel\\leq S(T+T')\\leq S(T') S(T′)−(M−m)pT′​∥T′∥≤S(T+T′)≤S(T′)

S ( T ) − ( M − m ) p T ∥ T ∥ ≤ S ( T + T ′ ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m)p_{T}\\parallel T\\parallel\\leq S(T+T')\\leq S(T) S(T)−(M−m)pT​∥T∥≤S(T+T′)≤S(T)

因此 S ( T ′ ) ≤ S ( T + T ′ ) + ( M − m ) p T ′ ∥ T ′ ∥ ≤ S ( T ) + ( M − m ) p T ′ ∥ T ′ ∥ S(T')\\leq S(T+T') + (M-m)p_{T'}\\parallel T'\\parallel\\leq S(T) + (M-m)p_{T'}\\parallel T'\\parallel S(T′)≤S(T+T′)+(M−m)pT′​∥T′∥≤S(T)+(M−m)pT′​∥T′∥.

因此对于任意 T ′ T' T′, 满足 ∥ T ′ ∥ ≤ ϵ ′ ( M − m ) p T ′ \\parallel T'\\parallel\\leq \\frac{\\epsilon'}{(M-m)p_{T'}} ∥T′∥≤(M−m)pT′​ϵ′​, 则有
S ( T ′ ) ≤ S ( T ) + ϵ ′ ≤ S + 2 ϵ ′ S(T')\\leq S(T)+\\epsilon' \\leq S+2\\epsilon' S(T′)≤S(T)+ϵ′≤S+2ϵ′
特别地, 对于 ϵ ′ = ϵ 2 \\epsilon'=\\frac{\\epsilon}{2} ϵ′=2ϵ​, 此时
S ( T ′ ) − S ≤ ϵ S(T')-S\\leq \\epsilon S(T′)−S≤ϵ
证毕.