不同路径

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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

Discussion | Solution

题解(动态规划)

class Solution {
public:int uniquePaths(int m, int n) {vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));for(int i = 0; i < m; ++i) dp[i][0] = 1;for(int j = 0; j < n; ++j) dp[0][j] = 1;for(int i = 1; i < m; ++i) {for(int j = 1; j < n; ++j) {dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];}}return dp[m-1][n-1];}
};

• 时间复杂度：O(m × n)
• 空间复杂度：O(m × n)

数论方法

可以转化为，给你m + n - 2个不同的数，随便取m - 1个数，有几种取法。

class Solution {
public:int uniquePaths(int m, int n) {long long numerator = 1; // 分子int denominator = m - 1; // 分母int count = m - 1;int t = m + n - 2;while (count--) {numerator *= (t--);while (denominator != 0 && numerator % denominator == 0) {numerator /= denominator;denominator--;}}return numerator;}
};

• 时间复杂度：O(m)
• 空间复杂度：O(1)

不同路径 II

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数组 | 动态规划 | 矩阵

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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

提示：

• m == obstacleGrid.length
• n == obstacleGrid[i].length
• 1 <= m, n <= 100
• obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

Discussion | Solution

题解

// @lc code=start
class Solution {
public:int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {int m = obstacleGrid.size();int n = obstacleGrid[0].size();if(obstacleGrid[m-1][n-1] == 1 || obstacleGrid[0][0] == 1) {return 0;}vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));for(int i = 0; i < m &&obstacleGrid[i][0] == 0;++i) dp[i][0] = 1;for(int j = 0; j < n &&obstacleGrid[0][j] == 0;++j) dp[0][j] = 1;for(int i = 1; i < m; ++i) {for(int j = 1;j < n;++j) {if(obstacleGrid[i][j] == 1) continue;dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];}}return dp[m-1][n-1];}
};

• 时间复杂度：O(n × m)，n、m 分别为obstacleGrid 长度和宽度
• 空间复杂度：O(n × m)

同样我们给出空间优化版本：

class Solution {
public:int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {if (obstacleGrid[0][0] == 1)return 0;vector<int> dp(obstacleGrid[0].size());for (int j = 0; j < dp.size(); ++j)if (obstacleGrid[0][j] == 1)dp[j] = 0;else if (j == 0)dp[j] = 1;elsedp[j] = dp[j-1];for (int i = 1; i < obstacleGrid.size(); ++i)for (int j = 0; j < dp.size(); ++j){if (obstacleGrid[i][j] == 1)dp[j] = 0;else if (j != 0)dp[j] = dp[j] + dp[j-1];}return dp.back();}
};

• 时间复杂度：O(n × m)，n、m 分别为obstacleGrid 长度和宽度
  ][j] == 1)
  dp[j] = 0;
  else if (j != 0)
  dp[j] = dp[j] + dp[j-1];
  }
  return dp.back();
  }
  };

- 时间复杂度：O(n × m)，n、m 分别为obstacleGrid 长度和宽度
- 空间复杂度：O(m)