拉东（Radon）变换

1917年，Radon 变换被提出。例如一个三维物体，如果知道它在各个方向的平面投影，能不能推出它的精确形状，这个数学问题可以由拉东变换解决。

拉东变换

R n R^n Rn 上实值函数的拉东变换定义为 $n－1$ 维超平面上的积分值，它是由拉东引入的． 拉东变换与从函数在空间 R n R^n Rn 的所有超平面上计算的积分值去还原该函数的问题直接相联系(即拉东变换反演问题)．

拉东变换以及特别是相应的反演公式(即从函数 $f$ 的拉东变换还原 $f$ 的公式)在断层照相法中具有最关键的重要性。拉东变换是调和分析和积分几何领域中的重要课题． 它与 Fourier 变换、Laplace 算子和球面调和函数有着密切的联系．

R 2 R^2 R2 上的拉东变换

定义平面上函数 $f(x,y)$ 的拉东变换为 R f ( L ) = ∫ L f ( x , y ) d s Rf(L)=\\int_L f(x,y)ds Rf(L)=∫L​f(x,y)ds ，由积分学的知识， ∫ L f ( x , y ) d s \\int_L f(x,y) ds ∫L​f(x,y)ds 表示函数 $f(x,y)$ 在积分路径 $L$ 上的第一型曲线积分。

若光滑曲线 L : { x = φ ( t ) y = ψ ( t ) , t ∈ [ α , β ] L:\\begin{cases} x=\\varphi(t)\\\\ y=\\psi(t) \\end{cases},t\\in[\\alpha,\\beta] L:{x=φ(t)y=ψ(t)​,t∈[α,β]，函数 $f(x,y)$ 为定义在 $L$ 上的连续函数，则 ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ α β f ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) [ φ ‘ ( t ) ] 2 + [ ψ ‘ ( t ) ] 2 d t . \\int_L f(x,y) ds=\\int_\\alpha^\\beta f(\\varphi(t),\\psi(t))\\sqrt{[\\varphi^`(t)]^2+[\\psi^`(t)]^2} dt. ∫L​f(x,y)ds=∫αβ​f(φ(t),ψ(t))[φ‘(t)]2+[ψ‘(t)]2 ​dt.

令 $L$ 表示平面上任何一条直线，方差 ℓ t , θ : x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ = t \\ell_{t,\\theta}:x\\cos \\theta +y\\sin \\theta=t ℓt,θ​:xcosθ+ysinθ=t，它的位置由两个参数 $(t,\theta )$ 来决定，其中 $t$ 表示向量 $X=(x,y)$ 在单位向量 n → = ( cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ) \\overrightarrow{n}=(\\cos \\theta,\\sin \\theta) n =(cosθ,sinθ) 上的投影，即 X ⋅ n → = t . X\\cdot \\overrightarrow{n}=t. X⋅n =t. 将单位向量 n → = ( cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ) \\overrightarrow{n}=(\\cos \\theta,\\sin \\theta) n =(cosθ,sinθ) 逆时针旋转 90 度得到单位向量 n → ⊥ = ( − sin ⁡ θ , cos ⁡ θ ) \\overrightarrow{n}^\\perp=(-\\sin \\theta,\\cos \\theta) n ⊥=(−sinθ,cosθ)，记 X ⋅ n → ⊥ = t . X\\cdot \\overrightarrow{n}^\\perp=t. X⋅n ⊥=t. 由 X = t n ⃗ + s n ⃗ ⊥ X=t\\vec n+s\\vec n ^\\perp X=tn +sn ⊥，得直线 $L$ 以 $s$ 为参数的参数方程： { x = t cos ⁡ θ − s sin ⁡ θ y = t sin ⁡ θ + s cos ⁡ θ . \\begin{cases} x=t\\cos \\theta-s\\sin \\theta \\\\ y=t\\sin \\theta+ s\\cos \\theta \\end{cases}. {x=tcosθ−ssinθy=tsinθ+scosθ​.

定义：设函数 $f(x,y)$ 沿平面上任意一条直线 ℓ t , θ : x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ = t \\ell_{t,\\theta}:x\\cos \\theta +y\\sin \\theta=t ℓt,θ​:xcosθ+ysinθ=t，称 R f ( t , θ ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t cos ⁡ θ − s sin ⁡ θ , t sin ⁡ θ + s cos ⁡ θ ) d s Rf(t,\\theta)=\\int_{-\\infin}^{+\\infin}f(t\\cos \\theta-s\\sin \\theta,t\\sin \\theta + s \\cos \\theta)ds Rf(t,θ)=∫−∞+∞​f(tcosθ−ssinθ,tsinθ+scosθ)ds 为函数 $f(x,y)$ 的拉东变换。

• 习惯上称 ∫ L f ( x , y ) d s \\int_L f(x,y) ds ∫L​f(x,y)ds 为投影值。当 $\theta =0$ 时， R f ( t , 0 ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y Rf(t,0)=\\int_{-\\infin}^{+\\infin}f(x,y)dy Rf(t,0)=∫−∞+∞​f(x,y)dy 表示在 $x$ 轴的投影；当
  θ = π 2 \\theta=\\frac \\pi 2 θ=2π​时， R f ( t , π 2 ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x Rf(t,\\frac \\pi 2)=\\int_{-\\infin}^{+\\infin}f(x,y)dx Rf(t,2π​)=∫−∞+∞​f(x,y)dx 表示在 $y$ 轴的投影。
• 从形式上看，$Rf(t，\theta )$ 是一个无穷区间上的广义积分，但在实际应用中函数 $f(x,y)$ 有紧支集，即在某个圆外为零，广义积分变成了特定区间上的定积分。

拉东变换的性质
（1）平移性
若 $f(x,y)=g(x-a,y-b)$，则 $Rf(t,\theta )=Rg(t-a\cos \theta -b\sin \theta ,\theta )$.

（2）旋转性
若 $f(x,y)=g(x\cos \phi -y\sin \phi ,x\sin \phi +y\cos \phi )$，则 $Rf(t,\theta )=Rg(t,\theta +\phi ).$

（3）伸缩性
若 $c\ne 0,f(x,y)=g(cs,cy)$，则 R f ( t , θ ) = 1 ∣ c ∣ R g ( c t , θ ) . Rf(t,\\theta)=\\frac 1 {|c|}Rg(ct,\\theta). Rf(t,θ)=∣c∣1​Rg(ct,θ).

（4）线性
$R(af+bg)(t,\theta )=aRf(t,\theta )+bRg(t,\theta ).$

R 2 R^2 R2 上的拉东变换的逆变换

固定 $\theta$，将 $Rf(t，\theta )$ 的一维傅里叶变换(关于变量 $t$) 写为 R ^ f ( w , θ ) = ∫ − ∞ + ∞ R f ( t , θ ) e − i w t d t = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( t cos ⁡ θ − s sin ⁡ θ , t sin ⁡ θ + s cos ⁡ θ ) d s e − i w t d t = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) e − i w ( x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ ) d x d y = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) e − i ( x , y ) ⋅ ( w cos ⁡ θ , w sin ⁡ θ ) d x d y = f ^ ( w cos ⁡ θ , w sin ⁡ θ ) \\hat Rf(w,\\theta)=\\int_{-\\infin}^{+\\infin}Rf(t,\\theta)e^{-iwt}dt=\\int_{-\\infin}^{+\\infin}\\int_{-\\infin}^{+\\infin}f(t\\cos \\theta-s \\sin \\theta,t \\sin \\theta + s \\cos \\theta)ds\\space e^{-iwt}dt \\\\=\\int_{-\\infin}^{+\\infin}\\int_{-\\infin}^{+\\infin}f(x,y)e^{-iw(x\\cos \\theta+y\\sin \\theta)} dxdy =\\int_{-\\infin}^{+\\infin}\\int_{-\\infin}^{+\\infin}f(x,y)e^{-i(x,y)\\cdot (w \\cos \\theta , w \\sin \\theta)}dxdy=\\hat f(w \\cos \\theta,w\\sin \\theta) R^f(w,θ)=∫−∞+∞​Rf(t,θ)e−iwtdt=∫−∞+∞​∫−∞+∞​f(tcosθ−ssinθ,tsinθ+scosθ)ds e−iwtdt=∫−∞+∞​∫−∞+∞​f(x,y)e−iw(xcosθ+ysinθ)dxdy=∫−∞+∞​∫−∞+∞​f(x,y)e−i(x,y)⋅(wcosθ,wsinθ)dxdy=f^​(wcosθ,wsinθ)这表明对图像投影 $Rf(t,\theta )$ 的一维傅里叶变换(关于变量 $t$) 等于对图像 $f(x,y)$ 的二维傅里叶变换，称为中心切片定理．

图像重构就是求投影 $Rf(t,\theta )$ 的逆变换(反演变换)． 对一切 $(t,\theta )$ 值知道了函数 $f(x,y)$ 的拉东变换时，相当于知道了函数 $f(x,y)$ 的二维傅里叶变换，因此对 f ^ ( ω c o s θ , ω s i n θ ) \\hat f(ωcosθ,ωsinθ) f^​(ωcosθ,ωsinθ) 作傅里叶逆变换，从而得到拉东变换的逆变换： f ( x , y ) = 1 4 π 2 ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ^ ( u , v ) e i ( u x + v y ) d u d v = 1 4 π 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 + ∞ f ^ ( w cos ⁡ θ , w sin ⁡ θ ) e i w ( x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ ) w d w d θ = 1 4 π 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 + ∞ R ^ f ( w , θ ) e i w ( x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ ) w d w d θ . f(x,y)=\\frac 1 {4\\pi^2}\\int_{-\\infin}^{+\\infin}\\int_{-\\infin}^{+\\infin}\\hat f(u,v)e^{i(ux + vy)}dudv\\\\ =\\frac 1 {4\\pi^2}\\int_{0}^{2\\pi}\\int_{0}^{+\\infin}\\hat f(w\\cos \\theta,w\\sin \\theta)e^{iw(x\\cos \\theta + y\\sin \\theta)} w \\space dwd\\theta \\\\=\\frac 1 {4\\pi^2}\\int_{0}^{2\\pi}\\int_{0}^{+\\infin}\\hat Rf(w,\\theta)e^{iw(x\\cos \\theta + y\\sin \\theta)}w\\space dwd\\theta. f(x,y)=4π21​∫−∞+∞​∫−∞+∞​f^​(u,v)ei(ux+vy)dudv=4π21​∫02π​∫0+∞​f^​(wcosθ,wsinθ)eiw(xcosθ+ysinθ)w dwdθ=4π21​∫02π​∫0+∞​R^f(w,θ)eiw(xcosθ+ysinθ)w dwdθ.