算法的时间复杂度和空间复杂度(2)

计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

因为递归先递推后回归，看起来规律像等比数列，也可以用错位相减法，因为斐波那契数列到第二项就不会再计算了，因为前面两项都是1，灰色部分可以忽略不计，影响不大。

所以斐波那契数列时间杂度为O(2^N)

空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。
 

计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}

空间复杂度是O(1)。 

大家可能会认为是O(N)，实际上不是，因为空间复杂度计算的是一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 ，int*a指向的数组，在建立冒泡函数之前就已经创建好了，所以只看函数内部即可，end是常数，所以是空间复杂度是O(1)。

计算Fibonacci的空间复杂度？
返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if(n==0)
return NULL;
long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray;
}

空间复杂度是O(N)，因为malloc开辟了n+1空间。

计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}

空间复杂度为O(N)

因为函数的建立会创建栈帧，然后会覆盖栈帧 。递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。

计算斐波那契递归Fib的空间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

空间复杂度是O(N)，因为在斐波那契数列在函数递归的时候 ，会有很多重复项，而函数栈帧在建立的时候，它会先选定一个空间，而空间是可以重复利用的，不累计计算，在一块栈帧用完后会销毁，在按照语句去选定下一个空间。

#include<stdio.h>
long long Fib(size_t N)
{if (N < 3)return 1;return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
int main()
{printf("%d\\n", Fib(10));return 0;
}

 调试可以看见在递归的时候，10会先去调用9，9去调用8，依此类推，到尽头就销毁栈帧，然后再开始计算Fib(N-2).....我们可以调试发现两边的N是共用同一块空间的。

我们通过下面的代码运行可以发现就是共用同一块空间的。

#include<stdio.h>
void FUB1()
{int a = 0;printf("%p\\n", &a);
}
void FUB2()
{int b = 0;printf("%p\\n", &b);
}
int main()
{FUB1();FUB2();return 0;
}

在main()调用完FUB1()空间会销毁，销毁不是真的销毁了这块空间，而是相当于人搬走了，地方还在，FUB2()还会在刚才的空间继续创建栈帧。 

 栈是向上生长的，下面是低地址，上面是高地址。

#include<stdio.h>
void FUB1()
{int a = 0;printf("%p\\n", &a);
}
void FUB2()
{int b = 0;printf("%p\\n", &b);
}
int main()
{int a = 0;printf("%p\\n", &a);FUB1();FUB2();return 0;
}

常见复杂度对比
一般算法常见的复杂度如下：
 

 这个表仅供参考。