LeetCode LCP 04. 覆盖【二分图最大匹配,匈牙利算法】困难

本文属于「征服LeetCode」系列文章之一，这一系列正式开始于2021/08/12。由于LeetCode上部分题目有锁，本系列将至少持续到刷完所有无锁题之日为止；由于LeetCode还在不断地创建新题，本系列的终止日期可能是永远。在这一系列刷题文章中，我不仅会讲解多种解题思路及其优化，还会用多种编程语言实现题解，涉及到通用解法时更将归纳总结出相应的算法模板。

为了方便在PC上运行调试、分享代码文件，我还建立了相关的仓库：https://github.com/memcpy0/LeetCode-Conquest。在这一仓库中，你不仅可以看到LeetCode原题链接、题解代码、题解文章链接、同类题目归纳、通用解法总结等，还可以看到原题出现频率和相关企业等重要信息。如果有其他优选题解，还可以一同分享给他人。

由于本系列文章的内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏征服LeetCode系列文章目录一文以作备忘。

你有一块棋盘，棋盘上有一些格子已经坏掉了。你还有无穷块大小为1 * 2的多米诺骨牌，你想把这些骨牌不重叠地覆盖在完好的格子上，请找出你最多能在棋盘上放多少块骨牌？这些骨牌可以横着或者竖着放。

输入：n, m 代表棋盘的大小；broken是一个b * 2的二维数组，其中每个元素代表棋盘上每一个坏掉的格子的位置。

输出：一个整数，代表最多能在棋盘上放的骨牌数。

示例 1：

输入：n = 2, m = 3, broken = [[1, 0], [1, 1]]
输出：2
解释：我们最多可以放两块骨牌：[[0, 0], [0, 1]]以及[[0, 2], [1, 2]]。（见下图）

示例 2：

输入：n = 3, m = 3, broken = []
输出：4
解释：下图是其中一种可行的摆放方式

限制：

1. 1 <= n <= 8
2. 1 <= m <= 8
3. 0 <= b <= n * m

解法 匈牙利算法

看了标签才做出来，事后诸葛亮还能看出一些使用二分图的迹象：

• 骨牌是1x2的大小，一个骨牌的两个位置一定是相邻的两个位置，这两个位置的下标之和的奇偶性相反。这就抽象成了一个二分图。
• 把奇数点看做男士，偶数点看做女士，建图后就比较直观。
• ==要放置最多的多米诺骨牌，也就是找到一种方式，使得二分图中奇数点和偶数点连起来的边数量最大 ==，这就是典型的二分图最大匹配。

因此，这题就是自行建图后使用匈牙利算法的模板题。

以示例一为例建图：

二分图最大匹配问题，一般可以用匈牙利算法解决。在介绍匈牙利算法之前，需要明确一些专有名词：

• 匹配集合：我们最终的目标是最大化边的数量，这些边将加入匹配集合。
• 匹配边、匹配点：在二分图中，如果本次将两个点连成的边加入匹配集合，就说我们当前将这条边作为了匹配边，边的两个端点均称作匹配点。
• 未匹配边、未匹配点：在二分图中，如果一个点有一条以上的边，并且其中某一条边已经被加入了匹配集合成为了匹配边，那么剩余的边均称作未匹配边，这些边的另一个端点称为未匹配点。
• 增广路：以未匹配边开始和结束，且未匹配边与匹配边交替出现的路径。

为了便于大家理解，通过下图（红框和篮框分别表示二分图中的两部分，黑圆表示不同的点。黄和绿线都表示点之间的边）来解释上面 $4$ 个概念：

• 首先将 $1$ 号点和 $5$ 号点之间的边放入匹配集合，该边就变成了匹配边（黄色标识）。$1$ 和 $5$ 号点就均变为了匹配点，此时，这两个点连接的其他边 $(1,7),(2,5),(4,5)$ 就称作未匹配边，对应的点 $2,4,7$ 就均称作未匹配点。
• 其次将 $3$ 号点和 $6$ 号点之间的边放入匹配集合，该边就变成了匹配边，这两个点变为了匹配点。由于这两个点没有连其他的边，所以不会出现新的未匹配边。
• 此时发现，路径 $2-5-1-7$ 就是一条 未匹配边-匹配边-未匹配边 组合的增广路径。

明确了这些概念后，看匈牙利算法：

1. 初始时，最大匹配集合为空。
2. 我们先找到一组匹配边，加入匹配集合。
3. 如果找到一条增广路径，就将其中的所有匹配边变为未匹配边，将所有的未匹配边变为匹配边。
4. 循环步骤 $3$ ，直到图中不存在增广路径。算法结束。

匈牙利算法中，最重要的便是步骤 $3$ 。深入理解——对于一条增广路径，根据其定义，必定含有 $k+1$ 条未匹配边以及 $k$ 条匹配边。那么，步骤 $3$ 的作用，其实就是将未匹配边和匹配边互换，这样，==该路径上就会更新为 $k$ 条未匹配边以及 $k+1$ 条匹配边，匹配边的数量就比互换之前多了 $1$ ==。

结合刚才的图片来看：我们将增广路径 $2-5-1-7$ 上的未匹配边 $(2,5),(1,7)$ 变为匹配边，将匹配边 $(5,1)$ 变为未匹配边，图中总匹配边数就从原来的两条 $(1,5),(3,6)$ 变成了三条 $(2,5),(1,7),(3,6)$ 。

一开始建二分图时，我们需要将题目给定的图标识成二分图（比如一部分标识为 $0$ ，另一部分标识为 $1$ ）。但在本题中，棋盘上第 $i$ 行第 $j$ 列属于哪一部分可以直接根据 $i+j$ 的奇偶性得到。

特别地，在二分图中，只需要从一个集合向另一个集合连有向边即可，不需要双向连边（虽然代码中随手写的双向连边）。另外，本题中棋盘上有些点不可以放多米诺骨牌，在连边过程中进行特判即可。

class Solution { 
public:int domino(int n, int m, vector<vector<int>>& broken) {vector<int> g[100];bool vis[100] = {false};bool b[100] = {false};int match[100];int ans = 0; function<bool(int)> dfs = [&](int u) -> bool {for (int v : g[u]) { if (!vis[v]) { // 没访问过vis[v] = true; // 避免重复访问, 能让就让if (match[v] == -1 || dfs(match[v])) {match[v] = u; return true;}}  }return false;};for (vector<int> &bv : broken) // 哪些位置破损 b[bv[0] * m + bv[1]] = true; for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j = 0; j < m; ++j) {int u = i * m + j;if (b[u]) continue;int v1 = i * m + j + 1, v2 = (i + 1) * m + j;if (j + 1 < m && !b[v1]) { // 只存奇数点到偶数点的边也行g[u].push_back(v1);g[v1].push_back(u);}if (i + 1 < n && !b[v2]) { g[u].push_back(v2);g[v2].push_back(u);}}}memset(match, -1, sizeof(match));for (int i = 0, t = n * m; i < t; ++i) {int x = i / m, y = i % m;memset(vis, false, size(vis));if (((x + y) & 1) && !b[i] && !vis[i] && dfs(i)) // 从奇数点出发向偶数点连边++ans;}return ans;}
};