[Eigen中文文档] 混叠

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英文原文(Aliasing)

在 Eigen 中，混叠是指相同的矩阵（或数组或向量）出现在赋值操作符的左边和右边。如下表达式，mat = 2*mat 或者 mat = mat.transpose()。第一个表达式是没有问题的，但是第二个表达式，会出现不可预料的结果。这一节会解释什么是混叠，以及它的危害与处理方法。

示例

一个混叠问题的示例：

// 代码索引 3-11-1-1
MatrixXi mat(3,3); 
mat << 1, 2, 3,   4, 5, 6,   7, 8, 9;
cout << "Here is the matrix mat:\\n" << mat << endl;// This assignment shows the aliasing problem
mat.bottomRightCorner(2,2) = mat.topLeftCorner(2,2);
cout << "After the assignment, mat = \\n" << mat << endl;

输出：

Here is the matrix mat:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
After the assignment, mat = 
1 2 3
4 1 2
7 4 1

可见输出不是所期望的。问题在于语句 mat.bottomRightCorner(2,2) = mat.topLeftCorner(2,2);，其中mat(1,1) 同时出现在赋值符号左侧的块 mat.bottomRightCorner(2,2) 和右侧的块 mat.topLeftCorner(2,2) 中。赋值后，右下角的 (2,2) 项应该是赋值前 mat(1,1) 的值，即 5。但是，输出显示 mat(2,2) 实际上是 1。问题在于 Eigen 对 mat.topLeftCorner(2,2) 使用惰性求值（参见 Eigen 中的表达式模板）。赋值方式类似于：

mat(1,1) = mat(0,0);  // 1
mat(1,2) = mat(0,1);  // 2
mat(2,1) = mat(1,0);  // 4
mat(2,2) = mat(1,1);  // 1

因此，mat(2,2) 被赋予 mat(1,1) 的新值而不是旧值。下一节将解释如何通过调用 eval() 来解决这个问题。

另外，尝试缩小矩阵时，更容易出现混叠现象。例如，表达式 vec = vec.head(n) 和 mat = mat.block(i,j,r,c)。

一般来说，编译时无法检测到混叠。如果第一个例子中的 mat 大一点，那么块就不会重叠，也就不会出现混叠问题。然而，Eigen 有时可以检测到一些混叠实例，尽管是在运行时。在 [3.2 矩阵与向量运算](#3.2 矩阵与向量运算) 中提到了以下混叠的示例：

Matrix2i a; a << 1, 2, 3, 4;
cout << "Here is the matrix a:\\n" << a << endl;a = a.transpose(); // !!! do NOT do this !!!
cout << "and the result of the aliasing effect:\\n" << a << endl;

输出：

Here is the matrix a:
1 2
3 4
and the result of the aliasing effect:
1 2
2 4

默认情况下，Eigen 可以使用运行时断言来检测这一问题，退出并显示如下消息：

static void Eigen::internal::checkTransposeAliasing_impl<Derived, OtherDerived, MightHaveTransposeAliasing>::run(const Derived&, const OtherDerived&) [with Derived = Eigen::Matrix<int, 2, 2>; OtherDerived = Eigen::Transpose<Eigen::Matrix<int, 2, 2> >; bool MightHaveTransposeAliasing = true]: Assertion `(!check_transpose_aliasing_run_time_selector <typename Derived::Scalar,blas_traits<Derived>::IsTransposed,OtherDerived> ::run(extract_data(dst), other)) && "aliasing detected during transposition, use transposeInPlace() " "or evaluate the rhs into a temporary using .eval()"' failed.

用户可以通过定义 EIGEN_NO_DEBUG 宏来关闭 Eigen 的运行时断言来检测混叠问题，上面的程序是在关闭这个宏的情况下编译的，以说明混叠问题。关于Eigen的运行时断言详情请参考 Assertions。

解决混叠问题

如果了解混叠问题的原因，那么很明显必须采取什么措施解决它：Eigen 必须将右侧评估为一个临时矩阵/数组，然后将其分配给左侧。eval()函数可以解决这一问题。

示例 3-11-1-1 的更正版本如下：

// 代码索引 3-11-1-2
MatrixXi mat(3,3); 
mat << 1, 2, 3,   4, 5, 6,   7, 8, 9;
cout << "Here is the matrix mat:\\n" << mat << endl;// The eval() solves the aliasing problem
mat.bottomRightCorner(2,2) = mat.topLeftCorner(2,2).eval();
cout << "After the assignment, mat = \\n" << mat << endl;

输出：

Here is the matrix mat:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
After the assignment, mat = 
1 2 3
4 1 2
7 4 5

mat(2,2) 在赋值后等于 5，这正是预期的结果。

同样的解决方案也适用于第二个示例，使用转置：只需使用 a = a.transpose().eval(); 替换 a = a.transpose(); 即可。但是，在这种常见情况下，有更好的解决方案。Eigen 提供了专用函数 transposeInPlace() ，它用矩阵的转置替换矩阵。如下所示：

MatrixXf a(2,3); a << 1, 2, 3, 4, 5, 6;
cout << "Here is the initial matrix a:\\n" << a << endl;a.transposeInPlace();
cout << "and after being transposed:\\n" << a << endl;

输出：

Here is the initial matrix a:
1 2 3
4 5 6
and after being transposed:
1 4
2 5
3 6

如果 xxxInPlace() 函数可用，那么最好使用它，因为它可以更清楚地表明在做什么。这也允许 Eigen 更积极地进行优化。如下是 Eigen 提供的一些 xxxInPlace() 函数：

在使用像 vec = vec.head(n) 这样的表达式压缩矩阵或向量的特殊情况下，可以使用 conservativeResize()

混叠与组件操作

从上面的例子可以看出，同一个矩阵或数组同时出现在赋值语句的左右两侧时，是一种很危险的事情。因此，通常需要显式计算赋值语句的右侧。但是对组件操作（例如矩阵相加、数乘、数组相乘）是很安全的。

下面的示例只有组件的操作。因此，即使赋值运算符的两边出现相同的矩阵，也不需要 eval()。

MatrixXf mat(2,2); 
mat << 1, 2,  4, 7;
cout << "Here is the matrix mat:\\n" << mat << endl << endl;mat = 2 * mat;
cout << "After 'mat = 2 * mat', mat = \\n" << mat << endl << endl;mat = mat - MatrixXf::Identity(2,2);
cout << "After the subtraction, it becomes\\n" << mat << endl << endl;ArrayXXf arr = mat;
arr = arr.square();
cout << "After squaring, it becomes\\n" << arr << endl << endl;// Combining all operations in one statement:
mat << 1, 2,  4, 7;
mat = (2 * mat - MatrixXf::Identity(2,2)).array().square();
cout << "Doing everything at once yields\\n" << mat << endl << endl;

输出：

Here is the matrix mat:
1 2
4 7After 'mat = 2 * mat', mat = 2  48 14After the subtraction, it becomes1  48 13After squaring, it becomes1  1664 169Doing everything at once yields1  1664 169

通常，如果表达式右侧的 (i,j) 项仅依赖于左侧矩阵或数组的 (i,j) 项而不依赖于任何其他项，则赋值是安全的。在这种情况下，没有必要显式计算右侧。

混叠和矩阵乘法

在目标矩阵未调整大小的情况下，矩阵乘法是 Eigen 中唯一默认有混叠问题的运算。但是，如果 matA 是一个方阵，那么语句 matA = matA * matA; 是安全的。Eigen 中所有其他操作都假设没有混叠问题，因为结果被分配给另一个不同的矩阵，或与组件运算是相容的。

MatrixXf matA(2,2); 
matA << 2, 0,  0, 2;
matA = matA * matA;
cout << matA;

输出：

4 0
0 4

然而，这是有代价的。当执行表达式 matA = matA * matA 时，Eigen 将计算的乘积放到临时矩阵中，在计算后分配给 matA 。然而，当将结果赋值给不同的矩阵时（比如：matB = matA * matA），Eigen仍然执行相同的操作。但在这种情况下，将乘积直接赋值给 matB 比先将其赋值给临时矩阵再将该矩阵复制到 matB 更高效。

用户可以使用 noalias() 函数声明当前没有混叠问题以提高效率，例如：matB.noalias() = matA * matA。这告诉 Eigen 将矩阵乘积 matA * matA 直接赋值给 matB。

MatrixXf matA(2,2), matB(2,2); 
matA << 2, 0,  0, 2;// Simple but not quite as efficient
matB = matA * matA;
cout << matB << endl << endl;// More complicated but also more efficient
matB.noalias() = matA * matA;
cout << matB;

输出：

4 0
0 44 0
0 4

当然，当实际上发生混叠问题时，不应该使用 noalias() 。如果这样做，可能会得到错误的结果：

MatrixXf A(2,2), B(3,2);
B << 2, 0,  0, 3, 1, 1;
A << 2, 0, 0, -2;
A = (B * A).cwiseAbs();
cout << A;

输出：

4 0
0 6
2 2

对于任何混叠问题，可以通过在赋值之前显式计算表达式来解决它：

MatrixXf A(2,2), B(3,2);
B << 2, 0,  0, 3, 1, 1;
A << 2, 0, 0, -2;
A = (B * A).eval().cwiseAbs();
cout << A;

输出：

4 0
0 6
2 2

总结

当相同的矩阵或数组元素同时出现在赋值运算符的左右两侧时，就会发生混叠问题。

• 混叠对元素计算无害；这包括标量乘法和矩阵或数组加法。
• 当将两个矩阵相乘时，Eigen 会假设发生了混叠。如果知道没有混叠问题，那么可以使用 noalias()。
• 在所有其他情况下，Eigen 假设不存在混叠问题，因此如果混叠确实发生，则会给出错误的结果。为防止这种情况，必须使用 eval() 或 xxxInPlace() 函数之一。