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图

基本概念

一幅图是由节点和边构成的，逻辑结构如下

/* 图节点的逻辑结构 */
class Vertex {int id;Vertex[] neighbors;
}

对比多叉树

/* 基本的 N 叉树节点 */
class TreeNode {int val;TreeNode[] children;
}

图的本质就是多叉树

用邻接表和邻接矩阵的存储方式如下

邻接表很直观，我把每个节点 x 的邻居都存到一个列表里，然后把 x 和这个列表关联起来，这样就可以通过一个节点 x 找到它的所有相邻节点。

邻接矩阵则是一个二维布尔数组，我们权且称为 matrix，如果节点 x 和 y 是相连的，那么就把 matrix[x][y] 设为 true（上图中绿色的方格代表 true）。如果想找节点 x 的邻居，去扫一圈 matrix[x][..] 就行了。

// 邻接表
// graph[x] 存储 x 的所有邻居节点
List<Integer>[] graph;// 邻接矩阵
// matrix[x][y] 记录 x 是否有一条指向 y 的边
boolean[][] matrix;

对于邻接表，好处是占用的空间少。但是，邻接表无法快速判断两个节点是否相邻。各有优劣

度（degree）

在无向图中，「度」就是每个节点相连的边的条数。

由于有向图的边有方向，所以有向图中每个节点「度」被细分为入度（indegree）和出度（outdegree）

有向无权图

其中节点 3 的入度为 3（有三条边指向它），出度为 1（它有 1 条边指向别的节点）

有向加权图

如果是邻接表，我们不仅仅存储某个节点 x 的所有邻居节点，还存储 x 到每个邻居的权重，不就实现加权有向图了吗？

如果是邻接矩阵，matrix[x][y] 不再是布尔值，而是一个 int 值，0 表示没有连接，其他值表示权重，不就变成加权有向图了吗？

代码实现

// 邻接表
// graph[x] 存储 x 的所有邻居节点以及对应的权重
List<int[]>[] graph;// 邻接矩阵
// matrix[x][y] 记录 x 指向 y 的边的权重，0 表示不相邻
int[][] matrix;

无向图怎么实现？也很简单，所谓的「无向」，等同于「双向」

如果连接无向图中的节点 x 和 y，把 matrix[x][y] 和 matrix[y][x] 都变成 true 不就行了；邻接表也是类似的操作，在 x 的邻居列表里添加 y，同时在 y 的邻居列表里添加 x。

遍历

图怎么遍历？还是那句话，参考多叉树

多叉树的 DFS 遍历框架如下：

/* 多叉树遍历框架 */
void traverse(TreeNode root) {if (root == null) return;// 前序位置for (TreeNode child : root.children) {traverse(child);}// 后序位置
}

图和多叉树最大的区别是：图是可能包含环的，你从图的某一个节点开始遍历，有可能走了一圈又回到这个节点，而树不会出现这种情况，从某个节点出发必然走到叶子节点，绝不可能回到它自身。

所以，如果图包含环，遍历框架就要一个 visited 数组进行辅助

// 记录被遍历过的节点
boolean[] visited;
// 记录从起点到当前节点的路径
boolean[] onPath;/* 图遍历框架 */
void traverse(Graph graph, int s) {if (visited[s]) return;// 经过节点 s，标记为已遍历visited[s] = true;// 做选择：标记节点 s 在路径上onPath[s] = true;for (int neighbor : graph.neighbors(s)) {traverse(graph, neighbor);}// 撤销选择：节点 s 离开路径onPath[s] = false;
}

广度优先算法(BFS)

BFS 的核心思想应该不难理解的，就是把一些问题抽象成图，从一个点开始，向四周开始扩散。一般来说，我们写 BFS 算法都是用「队列」这种数据结构，每次将一个节点周围的所有节点加入队列

BFS 相对 DFS 的最主要的区别是：BFS 找到的路径一定是最短的，但代价就是空间复杂度可能比 DFS 大很多

框架

// 计算从起点 start 到终点 target 的最近距离
int BFS(Node start, Node target) {Queue<Node> q; // 核心数据结构Set<Node> visited; // 避免走回头路q.offer(start); // 将起点加入队列visited.add(start);int step = 0; // 记录扩散的步数while (q not empty) {int sz = q.size();/* 将当前队列中的所有节点向四周扩散 */for (int i = 0; i < sz; i++) {Node cur = q.poll();/* 划重点：这里判断是否到达终点 */if (cur is target)return step;/* 将 cur 的相邻节点加入队列 */for (Node x : cur.adj()) {if (x not in visited) {q.offer(x);visited.add(x);}}}/* 划重点：更新步数在这里 */step++;}
}

cur.adj() 泛指 cur 相邻的节点，比如说二维数组中，cur 上下左右四面的位置就是相邻节点；visited 的主要作用是防止走回头路，大部分时候都是必须的，但是像一般的二叉树结构，没有子节点到父节点的指针，不会走回头路就不需要 visited。

111. 二叉树的最小深度

给定一个二叉树，找出其最小深度。

最小深度是从根节点到最近叶子节点的最短路径上的节点数量。

说明：叶子节点是指没有子节点的节点。

class Solution {public int minDepth(TreeNode root) {if (root == null) return 0;Queue<TreeNode> q = new LinkedList<>();q.offer(root);// root 本身就是一层，depth 初始化为 1int depth = 1;while (!q.isEmpty()) {int sz = q.size();/* 将当前队列中的所有节点向四周扩散 */for (int i = 0; i < sz; i++) {TreeNode cur = q.poll();/* 判断是否到达终点 */if (cur.left == null && cur.right == null) return depth;/* 将 cur 的相邻节点加入队列 */if (cur.left != null)q.offer(cur.left);if (cur.right != null) q.offer(cur.right);}/* 这里增加步数 */depth++;}return depth;}
}

注意这个 while 循环和 for 循环的配合，while 循环控制一层一层往下走，for 循环利用 sz 变量控制从左到右遍历每一层二叉树节点：

752. 打开转盘锁

你有一个带有四个圆形拨轮的转盘锁。每个拨轮都有10个数字： '0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9' 。每个拨轮可以自由旋转：例如把 '9' 变为 '0'，'0' 变为 '9' 。每次旋转都只能旋转一个拨轮的一位数字。

锁的初始数字为 '0000' ，一个代表四个拨轮的数字的字符串。

列表 deadends 包含了一组死亡数字，一旦拨轮的数字和列表里的任何一个元素相同，这个锁将会被永久锁定，无法再被旋转。

字符串 target 代表可以解锁的数字，你需要给出解锁需要的最小旋转次数，如果无论如何不能解锁，返回 -1

思路：

1、先穷举所有可能的密码组合了

// 将 s[j] 向上拨动一次
String plusOne(String s, int j) {char[] ch = s.toCharArray();if (ch[j] == '9')ch[j] = '0';elsech[j] += 1;return new String(ch);
}
// 将 s[i] 向下拨动一次
String minusOne(String s, int j) {char[] ch = s.toCharArray();if (ch[j] == '0')ch[j] = '9';elsech[j] -= 1;return new String(ch);
}// BFS 框架，打印出所有可能的密码
void BFS(String target) {Queue<String> q = new LinkedList<>();q.offer("0000");while (!q.isEmpty()) {int sz = q.size();/* 将当前队列中的所有节点向周围扩散 */for (int i = 0; i < sz; i++) {String cur = q.poll();/* 判断是否到达终点 */System.out.println(cur);/* 将一个节点的相邻节点加入队列 */for (int j = 0; j < 4; j++) {String up = plusOne(cur, j);String down = minusOne(cur, j);q.offer(up);q.offer(down);}}/* 在这里增加步数 */}return;
}

有如下问题需要解决：

1、会走回头路。比如说我们从 "0000" 拨到 "1000"，但是等从队列拿出 "1000" 时，还会拨出一个 "0000"，这样的话会产生死循环。

2、没有终止条件，按照题目要求，我们找到 target 就应该结束并返回拨动的次数。

3、没有对 deadends 的处理，按道理这些「死亡密码」是不能出现的，也就是说你遇到这些密码的时候需要跳过。

class Solution {public int openLock(String[] deadends, String target) {// 记录需要跳过的死亡密码Set<String> deads = new HashSet<>();for (String s : deadends) deads.add(s);// 记录已经穷举过的密码，防止走回头路Set<String> visited = new HashSet<>();Queue<String> q = new LinkedList<>();// 从起点开始启动广度优先搜索int step = 0;q.offer("0000");visited.add("0000");while (!q.isEmpty()) {int sz = q.size();/* 将当前队列中的所有节点向周围扩散 */for (int i = 0; i < sz; i++) {String cur = q.poll();/* 判断是否到达终点 */if (deads.contains(cur))continue;if (cur.equals(target))return step;/* 将一个节点的未遍历相邻节点加入队列 */for (int j = 0; j < 4; j++) {String up = plusOne(cur, j);if (!visited.contains(up)) {q.offer(up);visited.add(up);}String down = minusOne(cur, j);if (!visited.contains(down)) {q.offer(down);visited.add(down);}}}/* 在这里增加步数 */step++;}// 如果穷举完都没找到目标密码，那就是找不到了return -1;}// 将 s[j] 向上拨动一次private String plusOne(String s, int j) {char[] ch = s.toCharArray();if (ch[j] == '9')ch[j] = '0';elsech[j] += 1;return new String(ch);}// 将 s[i] 向下拨动一次private String minusOne(String s, int j) {char[] ch = s.toCharArray();if (ch[j] == '0')ch[j] = '9';elsech[j] -= 1;return new String(ch);}
}

773. 滑动谜题

在一个 2 x 3 的板上（board）有 5 块砖瓦，用数字 1~5 来表示, 以及一块空缺用 0 来表示。一次 移动 定义为选择 0 与一个相邻的数字（上下左右）进行交换.

最终当板 board 的结果是 [[1,2,3],[4,5,0]] 谜板被解开。

给出一个谜板的初始状态 board ，返回最少可以通过多少次移动解开谜板，如果不能解开谜板，则返回 -1 。

思考：

1、一般的 BFS 算法，是从一个起点 start 开始，向终点 target 进行寻路，但是拼图问题不是在寻路，而是在不断交换数字，这应该怎么转化成 BFS 算法问题呢？

2、即便这个问题能够转化成 BFS 问题，如何处理起点 start 和终点 target？它们都是数组，把数组放进队列，套 BFS 框架，想想就比较麻烦且低效。

第一个问题，BFS 算法并不只是一个寻路算法，而是一种暴力搜索算法，只要涉及暴力穷举的问题，BFS 就可以用，而且可以最快地找到答案。

我们的问题就转化成了：如何穷举出 board 当前局面下可能衍生出的所有局面？这就简单了，看数字 0 的位置，和上下左右的数字进行交换就行了：

对于第二个问题，我们这里的 board 仅仅是 2x3 的二维数组，所以可以压缩成一个一维字符串。其中比较有技巧性的点在于，二维数组有「上下左右」的概念，压缩成一维后，如何得到某一个索引上下左右的索引？

比如看这个相邻的「下标索引」映射

// 记录一维字符串的相邻索引
int[][] neighbor = new int[][]{{1, 3},{0, 4, 2},{1, 5},{0, 4},{3, 1, 5},{4, 2}
};

含义就是，在一维字符串中，索引 i 在二维数组中的的相邻索引为 neighbor[i]：

class Solution {public int slidingPuzzle(int[][] board) {int m = 2, n = 3;StringBuilder sb = new StringBuilder();String target = "123450";// 将 2x3 的数组转化成字符串作为 BFS 的起点for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {sb.append(board[i][j]);}}String start = sb.toString();// 记录一维字符串的相邻索引int[][] neighbor = new int[][]{{1, 3},{0, 4, 2},{1, 5},{0, 4},{3, 1, 5},{4, 2}};/* BFS 算法框架开始 */Queue<String> q = new LinkedList<>();HashSet<String> visited = new HashSet<>();// 从起点开始 BFS 搜索q.offer(start);visited.add(start);int step = 0;while (!q.isEmpty()) {int sz = q.size();for (int i = 0; i < sz; i++) {String cur = q.poll();// 判断是否达到目标局面if (target.equals(cur)) {return step;}// 找到数字 0 的索引int idx = 0;for (; cur.charAt(idx) != '0'; idx++) ;// 将数字 0 和相邻的数字交换位置for (int adj : neighbor[idx]) {String new_board = swap(cur.toCharArray(), adj, idx);// 防止走回头路if (!visited.contains(new_board)) {q.offer(new_board);visited.add(new_board);}}}step++;}/* BFS 算法框架结束 */return -1;}private String swap(char[] chars, int i, int j) {char temp = chars[i];chars[i] = chars[j];chars[j] = temp;return new String(chars);}
}

双向BFS

区别：传统的 BFS 框架就是从起点开始向四周扩散，遇到终点时停止；而双向 BFS 则是从起点和终点同时开始扩散，当两边有交集的时候停止

它俩的最坏复杂度都是 O(N)

图示中的树形结构，如果终点在最底部，按照传统 BFS 算法的策略，会把整棵树的节点都搜索一遍，最后找到 target；而双向 BFS 其实只遍历了半棵树就出现了交集，也就是找到了最短距离。

不过，双向 BFS 也有局限，因为你必须知道终点在哪里。比如我们刚才讨论的二叉树最小高度的问题，你一开始根本就不知道终点在哪里，也就无法使用双向 BFS；但是第二个密码锁的问题，是可以使用双向 BFS 算法来提高效率的

双向BFS优化

int openLock(String[] deadends, String target) {Set<String> deads = new HashSet<>();for (String s : deadends) deads.add(s);// 用集合不用队列，可以快速判断元素是否存在Set<String> q1 = new HashSet<>();Set<String> q2 = new HashSet<>();Set<String> visited = new HashSet<>();int step = 0;q1.add("0000");q2.add(target);while (!q1.isEmpty() && !q2.isEmpty()) {// 哈希集合在遍历的过程中不能修改，用 temp 存储扩散结果Set<String> temp = new HashSet<>();/* 将 q1 中的所有节点向周围扩散 */for (String cur : q1) {/* 判断是否到达终点 */if (deads.contains(cur))continue;if (q2.contains(cur))return step;visited.add(cur);/* 将一个节点的未遍历相邻节点加入集合 */for (int j = 0; j < 4; j++) {String up = plusOne(cur, j);if (!visited.contains(up))temp.add(up);String down = minusOne(cur, j);if (!visited.contains(down))temp.add(down);}}/* 在这里增加步数 */step++;// temp 相当于 q1// 这里交换 q1 q2，下一轮 while 就是扩散 q2q1 = q2;q2 = temp;}return -1;
}

双向 BFS 还是遵循 BFS 算法框架的，只是不再使用队列，而是使用 HashSet 方便快速判断两个集合是否有交集。

另外的一个技巧点就是 while 循环的最后交换 q1 和 q2 的内容，所以只要默认扩散 q1 就相当于轮流扩散 q1 和 q2。

其实双向 BFS 还有一个优化，就是在 while 循环开始时做一个判断

深度优先算法(DFS)

其实 DFS 算法就是回溯算法

回溯算法和 DFS 算法的细微差别是：回溯算法是在遍历「树枝」，DFS 算法是在遍历「节点」

797. 所有可能的路径

给你一个有 n 个节点的 有向无环图（DAG），请你找出所有从节点 0 到节点 n-1 的路径并输出（不要求按特定顺序）

graph[i] 是一个从节点 i 可以访问的所有节点的列表（即从节点 i 到节点 graph[i][j]存在一条有向边）。

解法很简单，以 0 为起点遍历图，同时记录遍历过的路径，当遍历到终点时将路径记录下来即可。

既然输入的图是无环的，我们就不需要 visited 数组辅助了，直接套用图的遍历框架

class Solution {// 记录所有路径List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();public List<List<Integer>> allPathsSourceTarget(int[][] graph) {// 维护递归过程中经过的路径LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();traverse(graph, 0, path);return res;}/* 图的遍历框架 */private void traverse(int[][] graph, int s, LinkedList<Integer> path) {// 添加节点 s 到路径path.addLast(s);int n = graph.length;if (s == n - 1){// 到达终点res.add(new LinkedList<>(path));// 可以在这直接 return，但要 removeLast 正确维护 path// path.removeLast();// return;// 不 return 也可以，因为图中不包含环，不会出现无限递归}// 递归每个相邻节点for (int v : graph[s]) {traverse(graph, v, path);}// 从路径移出节点 spath.removeLast();        }
}

–end–