060202体积弧长-定积分在几何学上的应用-定积分的应用

2 体积

2.1 旋转体的体积

情形①平面图形由$y=f(x),y=0,x=a,x=b$所围成，其绕x轴一周所得旋转体的体积，如下图2.1-1所示：

解：积分变量 x ，积分区间 [ a , b ] d v = π f 2 ( x ) d x v = π ∫ a b f 2 ( x ) d x 解：积分变量x，积分区间[a,b]\\\\ \\begin{aligned} &dv=\\pi f^2(x)\\mathrm{d}x\\\\ &v=\\pi\\int_a^bf^2(x)\\mathrm{d}x \\end{aligned} 解：积分变量x，积分区间[a,b]​dv=πf2(x)dxv=π∫ab​f2(x)dx​
②平面图形由$x=g(y),x=0,y=c,y=d$所围成，其绕y轴选择一周所得旋转体体积，如下图2.1-2所示：

解：积分变量 y ，积分区间 [ d , c ] d v = π g 2 ( y ) d y v = π ∫ d c g 2 ( y ) d y 解：积分变量y，积分区间[d,c]\\\\ \\begin{aligned} &dv=\\pi g^2(y)dy\\\\ &v=\\pi\\int_d^c g^2(y)dy \\end{aligned} 解：积分变量y，积分区间[d,c]​dv=πg2(y)dyv=π∫dc​g2(y)dy​
③平面图形由$y=f(x),y=0,x=a,x=b$所围成，其绕y轴旋转一周所得的体积，如下图2.1-3所示：

• 计算方式

  • 方式一：紫色体积=大圆柱体积-绿色体积，很麻烦

  解： V = π b 2 f ( b ) − π a 2 f ( a ) − ∫ a b f − 1 ( y ) d y 解：V=\\pi b^2f(b)-\\pi a^2f(a)-\\int_a^b f^{-1}(y)dy 解：V=πb2f(b)−πa2f(a)−∫ab​f−1(y)dy

  • 方式二（推荐）：柱壳法，如下图2.1-4所示：

    • 分析：$[a,b]任取一小段x到x+dx$，其绕y轴旋转一周，任意位置将其沿y轴剪开，即为下面图行所示的长方体$f(x),2\pi x,dx$
      解：积分变量 x ，积分区间 [ a , b ] ，柱壳法计算 d v = 2 π x f ( x ) d x v = 2 π ∫ a b x f ( x ) d x 解：积分变量x，积分区间[a,b]，柱壳法计算\\\\ \\begin{aligned} &dv=2\\pi xf(x)dx\\\\ &v=2\\pi\\int_a^bxf(x)dx \\end{aligned} 解：积分变量x，积分区间[a,b]，柱壳法计算​dv=2πxf(x)dxv=2π∫ab​xf(x)dx​

④平面图像由$x=f(x),x=g(x),x=a,x=b$所围成，其绕x轴旋转一周的旋转体体积，如下2.1-5所示：

解：绕 x 轴旋转 v = π ∫ a b ∣ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) ∣ d x 解：绕x轴旋转\\\\ v=\\pi\\int_a^b|f^2(x)-g^2(x)|dx\\\\ 解：绕x轴旋转v=π∫ab​∣f2(x)−g2(x)∣dx
⑤平面图像由$x=f(y),x=g(y),y=a,y=b$所围成，其绕y轴旋转一周的旋转体体积，如下2.1-6所示：

绕 y 轴旋转 v = π ∫ a b ∣ f 2 ( y ) − g 2 ( y ) ∣ d y 绕y轴旋转\\\\ v=\\pi\\int_a^b|f^2(y)-g^2(y)|dy\\\\ 绕y轴旋转v=π∫ab​∣f2(y)−g2(y)∣dy
⑥ 1 ° 由 y = f ( x ) , y = 0 , x = a , x = b 1^\\degree\\quad 由y=f(x),y=0,x=a,x=b 1°由y=f(x),y=0,x=a,x=b所围图形绕$x=c,y=d$旋转一周所得旋转体的体积，如下图2.1-7所示：

解：柱壳法，当 c < a 时， d v = 2 π ( x − c ) f ( x ) d x , v = 2 π ∫ a b ( x − c ) f ( x ) d x 当 c > a 时， v = 2 π ∫ a b ( c − x ) d x ∴ v = 2 π ∫ a b ∣ x − c ∣ f ( x ) d x 图形绕 y = d 旋转时， v = π ∣ ∫ a b [ f ( x ) − d ] 2 − d 2 ∣ d x 解：柱壳法，当c\\lt a时，dv=2\\pi(x-c)f(x)dx,v=2\\pi\\int_a^b(x-c)f(x)dx\\\\ 当c\\gt a时，v=2\\pi\\int_a^b(c-x)dx\\\\ ∴v=2\\pi\\int_a^b|x-c|f(x)dx\\\\ 图形绕y=d旋转时， v=\\pi|\\int_a^b[f(x)-d]^2-d^2|dx 解：柱壳法，当c<a时，dv=2π(x−c)f(x)dx,v=2π∫ab​(x−c)f(x)dx当c>a时，v=2π∫ab​(c−x)dx∴v=2π∫ab​∣x−c∣f(x)dx图形绕y=d旋转时，v=π∣∫ab​[f(x)−d]2−d2∣dx
2 ° 由 y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a , x = b 2^\\degree\\quad由y=f(x),y=g(x),x=a,x=b 2°由y=f(x),y=g(x),x=a,x=b所围成图形绕$x=c,y=d$旋转一周所得旋转体的体积，如下图2.1-8所示：

解：绕 x = c 所得旋转体体积： v = 2 π ∫ a b ∣ ( x − c ) [ f ( x ) − g ( x ) ] ∣ d x 绕 y = d 所得旋转体体积： v = π ∫ a b ∣ [ f ( x ) − d ] 2 − [ g ( x ) − d ] 2 ∣ d x 解：绕x=c所得旋转体体积：\\\\ v=2\\pi\\int_a^b|(x-c)[f(x)-g(x)]|dx\\\\ 绕y=d所得旋转体体积：\\\\ v=\\pi\\int_a^b|[f(x)-d]^2-[g(x)-d]^2|dx 解：绕x=c所得旋转体体积：v=2π∫ab​∣(x−c)[f(x)−g(x)]∣dx绕y=d所得旋转体体积：v=π∫ab​∣[f(x)−d]2−[g(x)−d]2∣dx
3 ° 由 x = g ( y ) , x = 0 , y = c , y = d 3^\\degree\\quad由x=g(y),x=0,y=c,y=d 3°由x=g(y),x=0,y=c,y=d所围图形绕$x=a,y=b$旋转一周所得旋转体的体积，如下图2.1-9所示：

解：绕 x = a 体积 v = π ∫ c d ∣ [ g ( y ) − a ] 2 − a 2 ∣ d y 绕 y = b 体积 v = 2 π ∫ c d ∣ y − b ∣ g ( y ) d y 解：绕x=a体积v=\\pi\\int_c^d|[g(y)-a]^2-a^2|dy\\\\ 绕y=b体积v=2\\pi\\int_c^d|y-b|g(y)dy 解：绕x=a体积v=π∫cd​∣[g(y)−a]2−a2∣dy绕y=b体积v=2π∫cd​∣y−b∣g(y)dy
$4°由x=\xi (y),y=\varphi (y),y=c,y=d$所围图形绕$x=a,x=b$旋转一周所得旋转体的体积，如下图2.1-10所示：

解：绕 x = a 体积 v = π ∫ c d ∣ [ ξ ( y ) − a ] 2 − [ ϕ ( y ) − a ] 2 ∣ d x 绕 y = b 体积 v = 2 π ∫ c d ∣ y − b ∣ [ ξ ( y ) − ϕ ( y ) ] d y 解：绕x=a体积v= \\pi\\int_c^d|[\\xi(y)-a]^2-[\\phi(y)-a]^2|dx\\\\ 绕y=b体积v=2\\pi\\int_c^d|y-b|[\\xi(y)-\\phi(y)]dy 解：绕x=a体积v=π∫cd​∣[ξ(y)−a]2−[ϕ(y)−a]2∣dx绕y=b体积v=2π∫cd​∣y−b∣[ξ(y)−ϕ(y)]dy

2.2 平行截截面面积已知的立体的体积

一般，设有立体位于x轴上$a,b点之间，\forall x\in [a,b]$过x点的立体截面面积已知为A(x),求物体体积，如下图2.2-1所示：

解： v = ∫ a b A ( x ) d x 解：v=\\int_a^bA(x)dx 解：v=∫ab​A(x)dx

2.3 例题

例1 连接坐标原点0及点p(h,r)的直线直线x=h及x轴围成的直角三角形绕x轴一周所得圆锥体的体积，如下图2.3-1所示：

解：去 x 为积分变量，积分区间 [ 0 , h ] , 则 v = ∫ 0 h π ( x r h ) 2 d x = r 2 h 2 π ∫ 0 h x 2 d x = π r 2 h 3 解：去x为积分变量，积分区间[0,h],则\\\\ v=\\int_0^h\\pi(x\\frac{r}{h})^2dx=\\frac{r^2}{h^2}\\pi\\int_0^hx^2dx\\\\ =\\frac{\\pi r^2h}{3} 解：去x为积分变量，积分区间[0,h],则v=∫0h​π(xhr​)2dx=h2r2​π∫0h​x2dx=3πr2h​
例2 计算椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \\frac{x^2}{a^2}+\\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2​+b2y2​=1所围图形绕$x$轴一周所围成旋转体的体积，如下图2.3-2所示：

解：由图纸椭球体左右对称，我们计算 x > 0 的部分 y = b 1 − x 2 a 2 , 去 x 为积分变量，变化区间为 [ 0 , a ] v = 2 ∫ 0 a π y 2 d x = 2 π ∫ 0 a ( b 1 − x 2 a 2 ) 2 d x = 2 b 2 π ∫ 0 a ( 1 − x 2 a 2 ) d x = 4 3 a b 2 π 解：由图纸椭球体左右对称，我们计算x\\gt0的部分\\\\ y=b\\sqrt{1-\\frac{x^2}{a^2}},去x为积分变量，变化区间为[0,a]\\\\ v=2\\int_0^a\\pi y^2dx=2\\pi\\int_0^a(b\\sqrt{1-\\frac{x^2}{a^2}})^2dx\\\\ =2b^2\\pi\\int_0^a(1-\\frac{x^2}{a^2})dx=\\frac{4}{3}ab^2\\pi 解：由图纸椭球体左右对称，我们计算x>0的部分y=b1−a2x2​ ​,去x为积分变量，变化区间为[0,a]v=2∫0a​πy2dx=2π∫0a​(b1−a2x2​ ​)2dx=2b2π∫0a​(1−a2x2​)dx=34​ab2π
注：

• 如果绕y轴旋转所得旋转体体积为： 4 3 π a 2 b \\frac{4}{3}\\pi a^2b 34​πa2b

例3 有摆线
{ x = a ( t − sin ⁡ t ) y = a ( 1 − cos ⁡ t ) 的一拱与 y = 0 所围成图形 \\begin{cases} x=a(t-\\sin t)\\\\ y=a(1-\\cos t) \\end{cases} 的一拱与y=0所围成图形 {x=a(t−sint)y=a(1−cost)​的一拱与y=0所围成图形
分别绕x,y轴旋转所得旋转体的体积,如下图2.3-3所示：

解：绕 x 轴旋转，取积分变量 x ，变化区间为 [ 0 , 2 π a ] v = ∫ 0 2 π a π y 2 d x = π ∫ 0 2 π a 2 ( 1 − cos ⁡ t ) 2 d [ a ( t − sin ⁡ t ) ] = π a 3 ∫ 0 2 π ( 1 − cos ⁡ t ) 3 d t = π a 3 ∫ 0 2 π ( 1 − 3 cos ⁡ t + 3 cos ⁡ 2 t − cos ⁡ 3 t ) d t = π a 3 ( 2 π − 0 + 12 ⋅ 1 2 ⋅ π 2 − 0 ) = 5 π 2 a 3 绕 y 轴旋转体，柱壳法，取积分变量 x ，变化区间 [ 0 , 2 π a ] v = ∫ 0 2 π a 2 π x f ( x ) d x = 2 π ∫ 0 2 π a ( t − sin ⁡ t ) ⋅ a ( 1 − cos ⁡ t ) d [ a ( t − sin ⁡ t ) ] = 2 π a 3 ∫ 0 2 π ( t − sin ⁡ t − 2 t cos ⁡ t + 2 sin ⁡ t cos ⁡ t − sin ⁡ t cos ⁡ 2 t + t cos ⁡ 2 t ) d t = 6 π 3 a 3 解：绕x轴旋转，取积分变量x，变化区间为[0,2\\pi a]\\\\ v=\\int_0^{2\\pi a}\\pi y^2dx=\\pi\\int_0^{2\\pi}a^2(1-\\cos t)^2d[a(t-\\sin t)]\\\\ =\\pi a^3\\int_0^{2\\pi}(1-\\cos t)^3dt=\\pi a^3\\int_0^{2\\pi}(1-3\\cos t+3\\cos^2t-\\cos^3t)dt\\\\ =\\pi a^3(2\\pi-0+12\\cdot\\frac{1}{2}\\cdot\\frac{\\pi}{2}-0)=5\\pi^2a^3\\\\ 绕y轴旋转体，柱壳法，取积分变量x，变化区间[0,2\\pi a]\\\\ v=\\int_0^{2\\pi a}2\\pi xf(x)dx=2\\pi\\int_0^{2\\pi}a(t-\\sin t)\\cdot a(1-\\cos t)d[a(t-\\sin t)]\\\\ =2\\pi a^3\\int_0^{2\\pi}(t-\\sin t -2t\\cos t+2\\sin t\\cos t-\\sin t\\cos^2t+t\\cos^2t)dt\\\\ =6\\pi^3a^3 解：绕x轴旋转，取积分变量x，变化区间为[0,2πa]v=∫02πa​πy2dx=π∫02π​a2(1−cost)2d[a(t−sint)]=πa3∫02π​(1−cost)3dt=πa3∫02π​(1−3cost+3cos2t−cos3t)dt=πa3(2π−0+12⋅21​⋅2π​−0)=5π2a3绕y轴旋转体，柱壳法，取积分变量x，变化区间[0,2πa]v=∫02πa​2πxf(x)dx=2π∫02π​a(t−sint)⋅a(1−cost)d[a(t−sint)]=2πa3∫02π​(t−sint−2tcost+2sintcost−sintcos2t+tcos2t)dt=6π3a3

例4 求由圆 ( x − 2 ) 2 + y 2 = 1 绕 x = − 1 (x-2)^2+y^2=1绕x=-1 (x−2)2+y2=1绕x=−1旋转而成旋转体的体积，如下图2.3-4所示：

解：方法一，积分变量取 y ，积分区间 [ − 1 , 1 ] v = ∫ − 1 1 [ π ( 2 + 1 − y 2 + 1 ) 2 − π ( 2 − 1 − y 2 + 1 ) 2 ] d x = 2 π ∫ 0 1 6 ⋅ 2 1 − y 2 d y = 24 π ( y 2 1 − y 2 + 1 2 arcsin ⁡ x ) ∣ 0 1 = 6 π 2 方法二 , 积分变量取 x ，积分区间 [ 1 , 3 ] v = ∫ 1 3 2 π ( x + 1 ) ⋅ 2 1 − ( x − 2 ) 2 d x = 4 π ∫ 1 3 ( x + 1 ) 1 − ( x − 2 ) 2 ) d x 令 x − 2 = s i n t , t ∈ [ − π 2 , π 2 ] v = 4 π ∫ − π 2 π 2 ( sin ⁡ t + 3 ) cos ⁡ 2 t d t = 0 + 24 π ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 t d t = 6 π 2 解：方法一，积分变量取y，积分区间[-1,1]\\\\ v=\\int_{-1}^1[\\pi(2+\\sqrt{1-y^2}+1)^2-\\pi(2-\\sqrt{1-y^2}+1)^2]dx\\\\ =2\\pi\\int_0^16\\cdot2\\sqrt{1-y^2}dy=24\\pi(\\frac{y}{2}\\sqrt{1-y^2}+\\frac{1}{2}\\arcsin x)|_0^1=6\\pi^2\\\\ 方法二,积分变量取x，积分区间[1,3]\\\\ v=\\int_1^3 2\\pi(x+1)\\cdot2\\sqrt{1-(x-2)^2}dx=4\\pi\\int_1^3(x+1)\\sqrt{1-(x-2)^2})dx\\\\ 令x-2=sin t,t\\in[-\\frac{\\pi}{2},\\frac{\\pi}{2}]\\\\ v=4\\pi\\int_{-\\frac{\\pi}{2}}^\\frac{\\pi}{2}(\\sin t+3)\\cos^2tdt=0+24\\pi\\int_0^\\frac{\\pi}{2}\\cos^2tdt=6\\pi^2 解：方法一，积分变量取y，积分区间[−1,1]v=∫−11​[π(2+1−y2 ​+1)2−π(2−1−y2 ​+1)2]dx=2π∫01​6⋅21−y2 ​dy=24π(2y​1−y2 ​+21​arcsinx)∣01​=6π2方法二,积分变量取x，积分区间[1,3]v=∫13​2π(x+1)⋅21−(x−2)2 ​dx=4π∫13​(x+1)1−(x−2)2 ​)dx令x−2=sint,t∈[−2π​,2π​]v=4π∫−2π​2π​​(sint+3)cos2tdt=0+24π∫02π​​cos2tdt=6π2

例5 一平面经过半径为R的圆柱体底圆中心且与底面之角为$\alpha$，计算平面截圆柱体所得立体的体积，如下图2.3-5所示：

解：取平面与圆柱体地面交线为 x 轴，地面上过圆心且垂直于 x 轴的直线为 y 轴，那么底原方程 x 2 + y 2 = R 2 A ( x ) = 1 2 R 2 − x 2 ⋅ R 2 − x 2 ⋅ tan ⁡ α v = 1 2 tan ⁡ α ∫ − R R ( R 2 − x 2 ) d x = tan ⁡ α ∫ 0 R ( R 2 − x 2 ) d x = 2 3 R 3 tan ⁡ α 解：取平面与圆柱体地面交线为x轴，地面上过圆心且垂直于x轴的直线为y轴，那么底原方程x^2+y^2=R^2\\\\ A(x)=\\frac{1}{2}\\sqrt{R^2-x^2}\\cdot\\sqrt{R^2-x^2}\\cdot\\tan\\alpha\\\\ v=\\frac{1}{2}\\tan\\alpha\\int_{-R}^R(R^2-x^2) dx=\\tan\\alpha\\int_0^R(R^2-x^2)dx\\\\ =\\frac{2}{3}R^3\\tan\\alpha 解：取平面与圆柱体地面交线为x轴，地面上过圆心且垂直于x轴的直线为y轴，那么底原方程x2+y2=R2A(x)=21​R2−x2 ​⋅R2−x2 ​⋅tanαv=21​tanα∫−RR​(R2−x2)dx=tanα∫0R​(R2−x2)dx=32​R3tanα
例6 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积，如下图所示：

解：取底圆所在平面为 x o y 平面，圆心 o 为原点，并使 x 轴与正劈锥的顶平行。底圆方程 x 2 + y 2 = R 2 A ( x ) = R 2 − x 2 h v = ∫ − R R A ( x ) d x = 2 h ∫ 0 R R 2 − x 2 d x = π R 2 h 2 解：取底圆所在平面为xoy平面，圆心o为原点，并使x轴与正劈锥的顶平行。底圆方程x^2+y^2=R^2\\\\ A(x)=\\sqrt{R^2-x^2}h\\\\ v=\\int_{-R}^RA(x)dx=2h\\int_0^R\\sqrt{R^2-x^2}dx=\\frac{\\pi R^2h}{2} 解：取底圆所在平面为xoy平面，圆心o为原点，并使x轴与正劈锥的顶平行。底圆方程x2+y2=R2A(x)=R2−x2 ​hv=∫−RR​A(x)dx=2h∫0R​R2−x2 ​dx=2πR2h​

3 平面曲线的弧长

已知一平面曲线$y=f(x),x\in [a,b],f(x)$具有一阶连续导，求该曲线弧KaTeX parse error: Undefined control sequence: \\overparen at position 1: \\̲o̲v̲e̲r̲p̲a̲r̲e̲n̲{AB}的长度，如下图3-1所示：

复习：弧微分 d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 ds=\\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} ds=(dx)2+(dy)2 ​

以下我们省略求定积分的过程分隔、取近似值、求和、求极限

2.1 直接坐标系

弧长 s = ∫ a b 1 + ( y ′ ) 2 d x s=\\int_a^b\\sqrt{1+(y^{'})^2}dx s=∫ab​1+(y′)2 ​dx

例1 求 y = 2 3 x 3 2 y=\\frac{2}{3}x^\\frac{3}{2} y=32​x23​上相应于从$a到b$的一段弧的长度，如下图2.1-1所示：

解：弧长 s = ∫ a b 1 + ( y ′ ) 2 d x = ∫ a b 1 + x d x = 2 3 ( 1 + x ) 3 2 ∣ a b = 2 3 [ ( 1 + b ) 3 2 − ( 1 + a ) 3 2 ] 解：弧长s=\\int_a^b\\sqrt{1+(y^{'})^2}dx=\\int_a^b\\sqrt{1+x}dx=\\frac{2}{3}(1+x)^\\frac{3}{2}|_a^b=\\frac{2}{3}[(1+b)^\\frac{3}{2}-(1+a)^\\frac{3}{2}] 解：弧长s=∫ab​1+(y′)2 ​dx=∫ab​1+x ​dx=32​(1+x)23​∣ab​=32​[(1+b)23​−(1+a)23​]
例2 计算半立方抛物线 y 2 = 2 3 ( x − 1 ) 3 y^2=\\frac{2}{3}(x-1)^3 y2=32​(x−1)3被抛物线 y 2 = x 3 y^2=\\frac{x}{3} y2=3x​截得的一段弧的长度，如下图2.1-2所示：

解：方程组 { y 2 = 2 3 ( x − 1 ) 3 , y 2 = x 3 的 x = 2 , y = ± 6 3 s = ∫ 1 2 1 + ( y ′ ) 2 d x = ∫ 1 2 1 + 3 2 ( x − 1 ) d x = 8 9 [ 5 2 3 2 − 1 ] 解：方程组 \\begin{cases} &y^2=\\frac{2}{3}(x-1)^3,\\\\ &y^2=\\frac{x}{3} \\end{cases} 的x=2,y=\\pm\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\\\ s=\\int_1^2\\sqrt{1+(y^{'})^2}dx=\\int_1^2\\sqrt{1+\\frac{3}{2}(x-1)}dx\\\\ =\\frac{8}{9}[\\frac{5}{2}^\\frac{3}{2}-1] 解：方程组{​y2=32​(x−1)3,y2=3x​​的x=2,y=±36 ​​s=∫12​1+(y′)2 ​dx=∫12​1+23​(x−1) ​dx=98​[25​23​−1]

2.2 参数方程

设曲线$y=f(x)的参数方程为$
{ x = ϕ ( t ) y = ξ ( t ) , ( α < t < β ) \\begin{cases} x=\\phi(t)\\\\ y=\\xi(t) \\end{cases} ,(\\alpha\\lt t\\lt\\beta)\\\\ {x=ϕ(t)y=ξ(t)​,(α<t<β)
在$[\alpha ,\beta ]$上具有连续导数。

则 d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 = [ ϕ ′ ( t ) ] 2 + [ ξ ′ ( t ) ] 2 ds=\\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\\sqrt{[\\phi^{'}(t)]^2+[\\xi^{'}(t)]^2} ds=(dx)2+(dy)2 ​=[ϕ′(t)]2+[ξ′(t)]2 ​

​ s = ∫ α β [ ϕ ′ ( t ) ] 2 + [ ξ ′ ( t ) ] 2 d t s=\\int_\\alpha^\\beta\\sqrt{[\\phi^{'}(t)]^2+[\\xi^{'}(t)]^2}dt s=∫αβ​[ϕ′(t)]2+[ξ′(t)]2 ​dt

例题 计算摆线
{ x = a ( θ − sin ⁡ θ ) y = a ( 1 − cos ⁡ θ ) \\begin{cases} x=a(\\theta-\\sin \\theta)\\\\ y=a(1-\\cos\\theta) \\end{cases} {x=a(θ−sinθ)y=a(1−cosθ)​
的一拱$(0\le \theta \le 2\pi )$的长度,如下图2.2-1所示：

解： s = ∫ 0 2 π ( x ′ ) 2 + ( y ′ ) 2 d θ = ∫ 0 2 π a 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) 2 + a 2 sin ⁡ 2 θ d θ = 2 a ∫ 0 2 π 1 − cos ⁡ θ d θ = 8 a 解：s=\\int_0^{2\\pi}\\sqrt{(x^{'})^2+(y^{'})^2}d\\theta=\\int_0^{2\\pi}\\sqrt{a^2(1-\\cos\\theta)^2+a^2\\sin^2\\theta}d\\theta\\\\ =\\sqrt{2}a\\int_0^{2\\pi}\\sqrt{1-\\cos\\theta}d\\theta=8a 解：s=∫02π​(x′)2+(y′)2 ​dθ=∫02π​a2(1−cosθ)2+a2sin2θ ​dθ=2 ​a∫02π​1−cosθ ​dθ=8a

2.3 极坐标系

设曲线极坐标方程为$\rho =\rho (\theta ),(\alpha <\theta <\beta )$。其中$\rho =\rho (\theta )在[\alpha ,\beta ]$上具有连续导数。

则直接坐标系参数方程是
{ x = ρ ( θ ) ⋅ cos ⁡ θ y = ρ ( θ ) ⋅ sin ⁡ θ , ( α < θ < β ) \\begin{cases} x=\\rho(\\theta)\\cdot\\cos\\theta\\\\ y=\\rho(\\theta)\\cdot\\sin\\theta \\end{cases} ,(\\alpha\\lt \\theta\\lt\\beta) {x=ρ(θ)⋅cosθy=ρ(θ)⋅sinθ​,(α<θ<β)
弧长元素： d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 d θ = ρ 2 ( θ ) + ( ρ ′ ( θ ) ) 2 d θ ds=\\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}d\\theta=\\sqrt{\\rho^2(\\theta)+(\\rho^{'}(\\theta))^2}d\\theta ds=(dx)2+(dy)2 ​dθ=ρ2(θ)+(ρ′(θ))2 ​dθ

弧长： s = ∫ α β ρ 2 ( θ ) + ( ρ ′ ( θ ) ) 2 d θ s=\\int_\\alpha^\\beta\\sqrt{\\rho^2(\\theta)+(\\rho^{'}(\\theta))^2}d\\theta s=∫αβ​ρ2(θ)+(ρ′(θ))2 ​dθ

例题：求阿基米德螺线$\rho =a\theta (a>0)$相应于$\theta 从0到2\pi$的弧长，如下图2.3-1所示：

解： s = ∫ 0 2 π ρ 2 ( θ ) + ( ρ ′ ( θ ) ) 2 d θ = ∫ 0 2 π a 2 θ 2 + a 2 d θ = a 2 [ 2 π 1 + 4 π 2 + ln ⁡ ( 2 π + 1 + 4 π 2 ) ] 解：s=\\int_0^{2\\pi}\\sqrt{\\rho^2(\\theta)+(\\rho^{'}(\\theta))^2}d\\theta\\\\ =\\int_0^{2\\pi}\\sqrt{a^2\\theta^2+a^2}d\\theta=\\frac{a}{2}[2\\pi\\sqrt{1+4\\pi^2}+\\ln(2\\pi+\\sqrt{1+4\\pi^2})] 解：s=∫02π​ρ2(θ)+(ρ′(θ))2 ​dθ=∫02π​a2θ2+a2 ​dθ=2a​[2π1+4π2 ​+ln(2π+1+4π2 ​)]

结语

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p276-286.

[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p39.