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初始化

插入

查询

合并集合 

连通块中点的数量 

堆排序 

 模拟堆

Trie树是用来快速存储和查找字符串集合的数据结构

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int son[N][26];//本题为小写因为字母，每个节点最多有26个子节点,所以是N,26
int cnt[N];//以当前节点结尾的字符有多少个
int idx;//当前所用到的下标，下标是0的点，即使根节点，又是空节点
char str[N];
void insert(char str[])
{int p = 0;for (int i = 0; str[i]; i++)//str结尾是\\0，我们这里用str[i]判断是否走到了结尾{int u = str[i] - 'a';//当前字母对应的子节点编号，把a-z，映射成0-25if (!son[p][u]) son[p][u] = ++idx;//如果当前p节点不存在u当前所代表的字母，我们就把它创建出来p = son[p][u];//走到下一个点}cnt[p]++;// 结束的时候 p 指向的点 对应 插入字符串的最后一个字符，表示以该点结尾的单词数量多了一个
}
int query(char str[])//查询操作
{int p = 0;for (int i = 0; str[i]; ++i){int u = str[i] - 'a';if (!son[p][u])//如果不存在该节点return 0;p = son[p][u];///否则的话就走到下一个点}return cnt[p];
}
int main()
{int n;scanf("%d", &n);while (n--){char op[2];//存储操作类型scanf("%s%s", op, str);if (op[0] == 'I'){insert(str);}elseprintf("%d\\n",query(str));}return 0;
}

Trie(字典树）是一种用于实现字符串快速检索的多叉树结构。Trie 的每个节点都拥有若干个字符指针，若在插入或检索字符串时扫描到一个字符 c，就沿着当前节点的 c 字符指针，走向该指针指向的节点。

Trie树可以 高效 支持 两个操作：

• 存储字符串集合
• 查询字符串集合

有一个 经验：凡是用到Trie树的题目，一般来说给出的字符串要么全是小写字母，要么全是大写字母，要么都是数字，要么全是0或1，总之字母类型不是很多。

下面来看看它是如何高效存储字符串的：

初始化

一棵空Trie树 仅包含一个根节点，该点的字符指针 均指向空。

插入

（1）过程分析

当需要 插入一个字符串S 时，我们令一个指针Р起初指向根节点。然后，依次扫描S中的每个字符c:

• 1.若P的c字符指针 指向一个已经存在的节点Q，则 令P= Q。
• 2.若P的c字符指针 指向空，则 新建一个节点Q，令P的c字符指针 指向Q，然后 令P=Q。

当s中的字符 扫描完毕时，在当前节点P上 标记它是一个字符串的末尾。

下图展示了 向Trie树中插入字符串过程，每插入一个字符串 都会标记一次

在上图所示的例子中，需要插入和检索的字符串都由小写字母构成，所以Trie 的每个节点具有26个字符指针，分别为a到 z。

上图展示了在一棵空Trie中依次插入“cab"、“cos"、"car"、“cat”、" cate” 和 “rain” 后的 Trie 的形态，灰色 标记了 单词的末尾节点。

可以看出在Trie 中，字符数据都体现在树的边（指针）上，树的节点仅保存一些额外信息，例如 单词结尾标记等。

（2）空间复杂度

O(NC)，其中 N是节点个数（即我们想要存储的字符串的最大长度），C是字符集的大小（如：26个字母则 C = 26，Trie树中 每个节点最多向外生26条边）。

（3）时间复杂度

与树的高度成正相关

（4）代码片段

const int N = 1e7+10;
inr son[N][26]; //存储Trie树中每个点所有儿子
int cnt[N]; //存储以当前这个节点结尾的单词有多少个
int idx; //当前用到了哪个下标，下标是0的节点既是根节点，又是空节点void insert(string s)
{int p = 0; //从根节点开始for(int i=0; i<s.size(); ++i) //从前往后遍历所插字符串的每个字符{int u = s[i] - 'a'; //每次将遍历到的当前字符对应的子节点编号求出（将小写字母 a~z 映射成 0~25）if(!son[p][u]) son[p][u] = ++idx; //如果当前节点 p 不存在 u 这个儿子，就创建出来p = son[p][u]; //走到下一个点}cnt[p]++; //结束的时候 p 指向的点 对应 插入字符串的最后一个字符，表示以该点结尾的单词数量多了一个
}

查询

（1）过程分析

当需要 查询一个字符串S在Trie中是否存在 时，我们令一个指针Р起初指向根节点，然后依次扫描S中的每个字符c:

• 1.若P的c字符指针 指向空，则说明S没有被插入过Trie，结束查询。
• 2.若P的c字符指针 指向一个已经存在的节点Q，则 令P =Q。

当S中的字符 扫描完毕时，若当前节点Р 被标记为一个字符串的末尾，则说明S在Trie中 存在，否则 说明 s没有被插入过Trie。

（2）时间复杂度

与树的高度成正相关

（3）代码片段

int query(string s) //返回的值是字符串出现的次数
{int p=0; //从根节点开始for(int i=0; i<s.size(); ++i){int u = s[i]-'a'; //每次将遍历到的当前字符对应的子节点编号求出（将小写字母 a~z 映射成 0~25）if(!son[p][u]) return 0; //如果当前节点 p 不存在 u 这个儿子，说明当前集合不存在这个单词，直接返回 0 即可p = son[p][u]; //否则的话就走到下一个点}return cnt[p]; //返回以 p 结尾的单词数量
}

合并集合 

并查集可以在近乎O(1)的时间复杂度内支持这俩个操作 

 合并：让一个树成为另一棵树的子树

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int p[N];//存储每个元素的父节点,当p[i]=i时，i就是树根
int n,m;
int find(int x)//返回x所在集合的编号(返回x的祖宗节点)+路径压缩
{if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x];
}
int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; ++i){p[i] = i;//先把所有p节点的值赋成自己}while (m--){char op[2];int a, b;scanf("%s%d%d", op,&a,&b);if (op[0] == 'M'){p[find(a)] = find(b);//合并操作,让A的祖宗节点成为B祖宗节点的子节点}else//判断俩节点是不是在同一集合里{if (find(a) == find(b)){puts("Yes");}elseputs("No");}}return 0;
}

 如何知道当前集合个数？

连通块中点的数量 

把a插到b里面，之后更新size[b]即可 

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int p[N],SIZE[N];//存储每个元素的父节点,当p[i]=i时，i就是树根,size[N]表示每个集合里面点的数量，只有根节点的size有意义 
int n,m;
int find(int x)//返回x所在集合的编号(返回x的祖宗节点)+路径压缩
{if (p[x] != x) 
p[x] = find(p[x]); //起到路径压缩的作用return p[x];
}
int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; ++i){p[i] = i;//先把所有p节点的值赋成自己SIZE[i] = 1;//最开始每个集合里面只有一个点}while (m--){char op[5];int a, b;scanf("%s", op);if (op[0] == 'C'){scanf("%d%d", &a, &b);if (find(a) == find(b))continue;SIZE[find(b)] += SIZE[find(a)];p[find(a)] = find(b);//合并操作,让b的祖宗节点成为a祖宗节点的子节点}else if (op[1] == '1')//询问是否在俩个集合当中Q1{scanf("%d%d", &a, &b);if (find(a) == find(b))puts("Yes");elseputs("No");}else//某集合点中的数量{scanf("%d", &a);printf("%d\\n", SIZE[find(a)]);}}return 0;
}

堆排序 

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int h[N], SIZE;//size表示堆中当前有多少个元素
void down(int u)
{int t = u;//t表示左右儿子和父节点中的最小值if (u * 2 <= SIZE&& h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;//如果数据在范围内，而且左儿子小于最小值，则t就是左儿子if (u * 2 + 1 <= SIZE && h[t] > h[u * 2 - 1]) t = u * 2 - 1;//右儿子if (u != t)//如果U不等于t，说明根节点就不是最小值，我们把最小值和根节点换一下即可{swap(h[u], h[t]);down(t);}}
int main()
{scanf("%d%d", &n,&m);for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &h[i]);SIZE = n;for (int i = n / 2; i; i--){down(i);}//从n/2开始建堆，会优化时间复杂度到O（N）while (m--){printf("%d", h[1]);//打印堆顶元素//删除堆顶元素h[1] = h[SIZE];SIZE--;down(1);}return 0;
}

up操作 

void up(int u)
{while (u / 2 && h[u / 2] > h[u])//只要有父节点，而且当前节点大于父节点，就换上去{swap(h[u / 2], h[u]);u /= 2;}
}

 模拟堆