Clothoid Curve计算

根据Clothoid Curve的数学模型，将其分为若干段直线和曲线段来绘制。具体计算过程如下：

1. 计算起点与终点的距离和方向角

S=(x2−x1)2+(y2−y1)2S = \\sqrt{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2}S=(x2−x1)2+(y2−y1)2​

$\alpha =atan2(y2-y1,x2-x1)$

2. 计算起点和终点对应的曲率半径

$r1=1/\kappa 1=1/(2S\theta )$

$r2=1/\kappa 2=1/(2S(1-\theta ))$

其中，$\theta$是布雷卡-菲德勒公式中的参数，$\theta =\kappa 1/(\kappa 1+\kappa 2)$。

3. 将曲线段分成若干个点，并计算每个点的坐标和方向角

对于一段长度为$L$的曲线段，将其等分为$N$个点。对于每个点$i$，计算出对应的曲率半径rir_iri​和弧长si=L∗i/Ns_i = L * i/Nsi​=L∗i/N。根据布雷卡-菲德勒公式，可以求出对应的曲线端点的坐标(xi,yi)(x_i, y_i)(xi​,yi​)和方向角ϕi\\phi_iϕi​。

xi=x0+risin⁡(ϕ0+∫0siκ(τ)dτ)x_i = x_0 + r_i\\sin(\\phi_0 + \\int_0^{s_i}\\kappa(\\tau)d\\tau)xi​=x0​+ri​sin(ϕ0​+∫0si​​κ(τ)dτ)

yi=y0+ricos⁡(ϕ0+∫0siκ(τ)dτ)y_i = y_0 + r_i\\cos(\\phi_0 + \\int_0^{s_i}\\kappa(\\tau)d\\tau)yi​=y0​+ri​cos(ϕ0​+∫0si​​κ(τ)dτ)

ϕi=ϕ0+∫0siκ(τ)dτ\\phi_i = \\phi_0 + \\int_0^{s_i}\\kappa(\\tau)d\\tauϕi​=ϕ0​+∫0si​​κ(τ)dτ

其中，x0,y0,ϕ0x_0, y_0, \\phi_0x0​,y0​,ϕ0​是起点的坐标和方向角，$\kappa (\tau )$是在该段曲线上某一点的曲率，可以使用布雷卡-菲德勒公式进行计算。

4. 将分段计算得到的点依次连接起来，得到Clothoid Curve的完整曲线。

根据上述原理，可以使用以下matlab代码实现Clothoid Curve的绘制：

% 参数设定x1 = 1;y1 = 1;x2 = 5;y2 = 5;kappa1 = 0.4;kappa2 = 0.8;% 计算距离和方向角S = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2);alpha = atan2(y2-y1, x2-x1);% 计算曲率半径theta = kappa1 / (kappa1 + kappa2);r1 = 1 / (2*S*theta);r2 = 1 / (2*S*(1-theta));% 分段计算L1 = pi * r1;L2 = pi * r2;N1 = ceil(L1);N2 = ceil(L2);L1 = L1 / N1;L2 = L2 / N2;x0 = x1;y0 = y1;phi0 = alpha;X = [];Y = [];for i = 1:N1si = i*L1;kappa = kappa1 + (kappa2-kappa1) * si/L1;ri = 1/kappa;xi = x0 + ri*sin(phi0 + integrate(kappa, 0, si));yi = y0 + ri*cos(phi0 + integrate(kappa, 0, si));phi = phi0 + integrate(kappa, 0, si);X = [X, xi];Y = [Y, yi];endx0 = X(end);y0 = Y(end);phi0 = alpha;for i = 1:N2si = i*L2;kappa = kappa1 + (kappa2-kappa1) / theta * si/L2;ri = 1/kappa;xi = x0 + ri*sin(phi0 + integrate(kappa, 0, si));yi = y0 + ri*cos(phi0 + integrate(kappa, 0, si));phi = phi0 + integrate(kappa, 0, si);X = [X, xi];Y = [Y, yi];end% 绘图plot(X, Y);axis equal;% 积分函数function y = integrate(f, a, b)% 梯形公式y = (f(a) + f(b)) * (b-a) / 2;endhttps://blog.csdn.net/qq_30816923/article/details/100768654