Z平面
稳定性分析
稳态误差分析
动态过程分析
频率特性

Z平面与S平面的映射关系

1. S平面虚轴的映射
   

2. $\omega$与$\theta$的映射
   
   可以看出从S平面到Z平面并不是一一映射

3. 主带与旁带
   
   S平面上宽度ωs\\omega_sωs​的一条可以映射到整个Z平面，具体的情况如下：

4. 主带的映射
   
   S平面主带左半平面可以映射到Z平面单位圆内。
   
   右半平面可以映射到Z平面单位圆外。

5. 等频率线的映射
   等频率即$\omega$为常数，在S平面与实轴平行
   

6. 等衰减率线的映射
   等衰减率即是ξωn\\xi \\omega_nξωn​乘积为定值，对应平行于虚轴的直线
   

7. 等阻尼比轨迹
   $\cos \beta =\xi$，等阻尼比即是S平面过原点的射线
   

稳定性分析

连续系统稳定：闭环特征根都在S平面的左半平面
根据映射关系：
离散系统稳定：闭环特征根都在Z平面单位圆内

利用特征根判别系统稳定性：

离散Routh判据

Routh判据是用来判断极点是否位于复平面左半平面的。因此需要引入一个新的变换，将Z平面的单位圆内，映射到某个平面的左半平面：
W变换：z=1+w1−w\\displaystyle z=\\frac{1+w}{1-w}z=1−w1+w​
运用W变换以后，就可以像之前连续系统一样运用Routh判据了。

两种特殊情况的处理方法：

1. 某行第一列为0:
   用足够小的正数$\epsilon$替代0参与运算
   用因子$(w+a)$乘以原特征方程，其中$a$为任意正数

2. 某行全为0:
   用全0行的上一行构造辅助方程，求导后用其系数替代全0行

看一个综合性的例题：


可以看出，采样使得系统的稳定区间变小，不稳定性增加。
但采样周期减小，系统更加接近连续，则这种影响也就减小。

对于特征方程二次的系统，D(z)=z2+Az+B=0D(z)=z^2+Az+B=0D(z)=z2+Az+B=0,
如果满足：
∣D(0)∣=∣B∣<1D(1)=1+A+B>0D(−1)=1−A+B>0\\begin{aligned} &|D(0)|=|B|<1\\\\ &D(1)=1+A+B>0\\\\ &D(-1)=1-A+B>0 \\end{aligned}​∣D(0)∣=∣B∣<1D(1)=1+A+B>0D(−1)=1−A+B>0​
则系统稳定。

Jury判据

相比与劳斯判据，不需要进行W变换。但缺点是只能判断是否稳定，而无法给出不稳定极点的个数。

「图源：刘建昌_计算机控制系统」

离散Nyquist判据

（了解）
特征方程：$1+kD(z)G(z)=0$

1. 确定$kD(z)G(z)$的不稳定极点数p
2. 代入z=ejωTz=e^{j \\omega T}z=ejωT，在$0\le \omega T\le 2\pi$范围内，画出开环幅相频率特性曲线
3. 计算曲线顺时针包围$z=-1$的圈数$n$
4. $q=p-n$，若$q=0$，则稳定

稳态误差

离散系统的稳态误差和连续系统的非常相近，可以对照进行理解

由此可以看出，稳态误差与以下因素都有关：

1. 系统本身的结构参数
2. 输入的形式和幅值
3. 采样周期T

通过定义和终值定理求稳态误差：

静态误差系数

型别的划分：
系统开环传递函数分母包含$(z-1)$的阶数称为型别（$z=1$的极点数）
因此开环传递函数可以写成：
1(z−1)vA(z)B(z)\\displaystyle \\frac{1}{(z-1)^v}\\frac{A(z)}{B(z)}(z−1)v1​B(z)A(z)​，其中v为系统型别

稳态误差：

需要注意的是，静态误差系数的计算不能直接读取增益了，而要根据Z变换的结果来求：
Kp=lim⁡z→1GF(z)Kv=lim⁡z→1(1−z−1)GF(z)TKa=lim⁡z→1(1−z−1)2GF(z)T2\\begin{aligned} &K_p=\\lim_{z\\to 1}GF(z)\\\\ &K_v=\\lim_{z\\to 1} \\frac{(1-z^{-1})GF(z)}{T}\\\\ &K_a=\\lim_{z\\to 1} \\frac{(1-z^{-1})^2GF(z)}{T^2} \\end{aligned}​Kp​=z→1lim​GF(z)Kv​=z→1lim​T(1−z−1)GF(z)​Ka​=z→1lim​T2(1−z−1)2GF(z)​​

解释：

1. 只有系统稳定才能求稳态误差（计算之前先判稳）
2. 稳态误差为$\infty$，并不表示系统不稳定。而是表示系统无法跟踪输入

动态过程

动态特性主要考虑单位阶跃响应。
和连续情况相似，时域的动态性能指标也包括超调量、上升时间、峰值时间、调节时间等等。
但是各个指标的取值是从系统阶跃响应的采样中得到的，因此根据采样的不同，各个值也会不同。

和连续情况类似，时间响应由闭环极点在Z平面的位置决定。
闭环极点与单位脉冲响应：

其中φ(k)=∑i=0nRes[ϕ(z)zk−1]z=zi\\displaystyle \\varphi(k)=\\sum_{i=0}^n \\text{Res}[\\rm \\phi(z)z^{k-1}]_{z=z_i}φ(k)=i=0∑n​Res[ϕ(z)zk−1]z=zi​​
因此求出$\phi (k)$，再用Z反变换，就可以求出时间响应。

1. 脉冲传函只有一个简单的实极点
   
   
   极点越靠近0，衰减越快

2. 脉冲传函仅含一对共轭复极点
   
   ρ1=∣a∣\\rho_1=|a|ρ1​=∣a∣，两个极点越靠近原点，ρ1\\rho_1ρ1​越小，衰减越快，过渡过程影响越小。
   $\theta$增大，震荡频率增大。$\theta =180°$震荡频率最高。

3. 脉冲传函所有极点都在Z平面原点
   
   $\phi (k)$只有有限项，也即在单位脉冲作用下，响应在$nT$内结束。
   当采样频率一定，该系统具有最短的过渡过程，称为时间最优系统或者最小拍系统
   所有极点都在原点，稳定性最高。但该条件苛刻，且系统参数变化会使控制性能变差。

频率特性

（了解）
连续系统频率特性：沿虚轴看，$s=j\omega$
离散系统频率特性：沿单位圆看，z=ejωTz=e^{j\\omega T}z=ejωT

1. $\omega T$沿单位圆转一圈，频率特性重复一次
2. ∣G(ejωT)∣|G(e^{j\\omega T})|∣G(ejωT)∣是$\omega$的偶函数，且沿ωs2\\frac{\\omega_s}{2}2ωs​​对称
3. ∠G(ejωT)\\angle G(e^{j \\omega T})∠G(ejωT)是$\omega$的奇函数
4. G(ejωT)G(e^{j\\omega T})G(ejωT)不是$\omega$的有理分式函数，不能画出对数幅频特性。但频率轴仍可以用对数座标。
5. 离散环节频率特性形状与连续环节相差较大。尤其是T较大时