题目描述

在训练神经网络时，损失函数$(\text{Loss})$在最初的几个$\text{Epoch}$时没有下降，可能的原因是：

$\mathcal{A}$学习率$(\text{Learning Rate})$太低

$\mathcal{B}$正则参数$\lambda$太高

$\mathcal{C}$陷入局部极小值

$\mathcal{D}$以上都有可能

正确答案：$\mathcal{D}$

题目解析

根据题干中的描述，默认的是梯度下降法，并且是训练过程中，损失函数不下降。

关于 $\mathcal{A}$ 选项，从学习率角度观察该问题时，主要原因是：在某神经元中各权重分量取值范围不平衡 的情况下，权重初始位置处于一个平滑$(\text{Flat})$范围。当学习率较小时，我们在训练初期可能无法快速找到正确的梯度方向。如下图所示的r2r_2r2​初始化位置：

针对这种情况的发生，我们自然想要增大学习率，使得平滑位置的初始化权重能够快速收敛至最优解区域(红色范围)。但实际上初始化权重的位置在权重空间中的任意位置都有可能。因此我们需要：

• 手动调整学习率，从而选择一个合适的初始学习率；
• 当损失函数收敛稳定的时候，再减小学习率，使其能够找到更好的最优点。

因此，$\mathcal{A}$ 选项正确。

关于 $\mathcal{B}$ 选项，我们在正则化——拉格朗日乘数法中介绍过，其目标函数$\mathcal{L}(\mathcal{W},\lambda )$可表示为如下形式：
L(W,λ)=J(W)+λ∣∣W∣∣2−λ⋅C\\begin{aligned} \\mathcal L(\\mathcal W,\\lambda) = \\mathcal J(\\mathcal W) + \\lambda||\\mathcal W||_2 - \\lambda \\cdot \\mathcal C \\end{aligned}L(W,λ)=J(W)+λ∣∣W∣∣2​−λ⋅C​

• 其中J(W)+λ∣∣W∣∣2\\mathcal J(\\mathcal W) + \\lambda ||\\mathcal W||_2J(W)+λ∣∣W∣∣2​使我们常见的基于L2L_2L2​正则化的损失函数表达形式，$\lambda$是一个大于$0$的常数；
• $\mathcal{C}$表示L2L_2L2​范数在权重空间中描述的正则化范围的半径，也是一个常数。

因而$\lambda \cdot \mathcal{C}$并不影响权重$\mathcal{W}$的梯度。也就是说，$\lambda \cdot \mathcal{C}$和$\mathcal{W}$的梯度方向无关。但在梯度下降法中，其目的是在每次迭代过程中找到一个与最优梯度大小相等、方向相反的向量，因而$\lambda \cdot \mathcal{C}$的作用是调整该数值，使得梯度向量大小与最优梯度大小相等。

这意味着，$\lambda \cdot \mathcal{C}$被约束——用于调整反向的梯度向量大小：

• 当$\lambda$数值较大时，由于$\lambda \cdot \mathcal{C}$被约束，则$\mathcal{C}$值较小。$\mathcal{C}$值小意味着$L$范数在权重空间描述的正则化范围小。即便是在正则化范围内逐步找到了最优权重，但该结果依然与最优权重相差较大：
  

观察上图，当λ1>λ2\\lambda_1 >\\lambda_2λ1​>λ2​时，对应的正则化范围半径C1<C2\\mathcal C_1 < \\mathcal C_2C1​<C2​，对应的正则化范围越小。

• 其中红色点表示C1\\mathcal C_1C1​对应正则化范围在$\mathcal{J}(\mathcal{W})$上的最优值；
• 同理，橙色点表示C2\\mathcal C_2C2​对应正则化范围在$\mathcal{J}(\mathcal{W})$上的最优值。

很明显，橙色点比红色点更接近$\mathcal{J}(\mathcal{W})$的最优解区域(红色椭圆区域)。对应在损失函数上，橙色点的损失函数下降过程会更明显。而红色点相比之下下降缓慢甚至停止下降。这同样也是欠拟合($\text{Under-Fitting}$)的表现。$\mathcal{B}$ 选项正确。

关于 $\mathcal{C}$ 选项，它可看做是 $\mathcal{A}$ 选项中的一种特殊情况。当$\mathcal{J}(\mathcal{W})$比较复杂的情况下，可能存在若干个极值点：

其中$(1)$表示全局极小解区域；$(2)$表示鞍点；$(3)$表示局部极小解区域。红色点的优化路径表示期望状态下的优化路径；相比之下，橙色点与蓝色点都会使模型学习结果不准确。

如果在$(2),(3)$解区域附近生成的初始权重位置，使他们更容易进入$(2),(3)$解区域并在后续迭代过程中较难跳出，最终会产生损失函数在训练初期较难下降的情况。因此 $\mathcal{C}$ 选项正确。

综合 $\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{C}$ 三个选项均有可能发生，因此选择 $\mathcal{D}$ 选项。

延伸：训练过程损失函数不下降的其他情况

上述选项分别从正则化、学习率、权重初始位置三个角度描述了损失函数不下降的情况。

我们在 $\mathcal{B}$ 选项中提到了欠拟合。引起欠拟合的原因还包含：

• 模型结构问题。当模型设计较简单——隐藏层、神经元少时，这可能导致模型拟合数据能力不足，具体做法是提升模型的复杂度。

• 权重初始化方式问题。不同的权重初始化方式会影响权重初始位置。常见的初始化方法有：零初始化、均匀分布、高斯分布等。

• 特征选择问题。其中一个方向是特征选择不合理，导致数据集内包含无效特征，从而增加神经网络的学习难度；具体做法是剔除无效特征。

  另一个方向是样本特征过于简单、信息量不足，即便模型学习了该特征，也无法得到期望的预测结果。具体做法是考虑加入特征组合、高次特征来丰富样本的特征空间，并且高次特征能够增加模型对于高次项的调动，从而提升模型的复杂度。
  详见正则化——权重衰减角度泰勒公式部分。

• 激活函数的选择问题。在神经网络学习过程中，可能出现饱和区间问题——输出特征大量存在与激活函数的饱和区间中，导致权重信息梯度消失，最终导致模型提前拟合。具体做法是调整合适的激活函数。如$\text{ReLU}$。以及批标准化($\text{Batch Normalization}$)，残差网络$(\text{ResNet})$等等。
  挖坑，关于‘残差网络’在后续进行介绍。

除此之外，关于数据集$\text{Batch}$划分问题。如果$\text{BatchSize}$划分过小，会导致各$\text{Batch}$内的样本子集分布之间差异较大，从而在模型学习过程中损失函数波动较大，难以收敛(有益的影响：轻易不会陷入局部极小值/鞍点)；
挖坑，后续介绍$\text{BatchSize}$的划分问题。

如果$\text{BatchSize}$划分过大，先不管内存问题，梯度下降的随机性减小了，首先导致收敛速度降低；其次，容易陷入极小值/鞍点。

相关参考：
loss非常大一直不下降，val_loss几十徘徊是为什么？