【FMCW 03】测速

从上一讲 测距 末尾的frame讲起。我们知道一个chirp对应了一个采样后的IF信号，我们将这些采样后的IF信号按chirp的次序排列成一个帧（frame），这就得到了我们实际中接收后处理的FMCW信号。

由于chirp的发射返回时间很短，所以我们称其所在时间维度为快时间（fast time）维，而相邻的chirp间存在一个chirp repetition time（CRT）相对较慢，于是我们将其所在时间维度为慢时间（slow time）维。借一幅《Soli: Ubiquitous Gesture Sensing with Millimeter》文中的图，可以对raw signal有一个直观的认识。

相位差的周期性

我们首先对FFT得到的频率谱做一个分析，其分为两部分，幅度部分和相位部分，幅度部分可以表示此处频率的强弱，相位部分表示的是此频率对应的相位。那么，对于，对做完range FFT后的frame矩阵而言，其fast time维度就转换成了range维度。

对于在某一个 range bin上的物体，我们已经知道其距离表示为
dtarget=c2Kfpeakd_{target} = \\frac{c}{2K}f_{peak} dtarget​=2Kc​fpeak​
这个距离的解我们知道是通过IF信号中频率部分$2\pi K\tau$得到的，而我们现在关注其相位部分2πf0τ2 \\pi f_0 \\tau2πf0​τ。

xIF(t)=Acos⁡(2πKτt+2πfoτ)x_{\\tiny{IF}}(t) = A \\cos(2\\pi K\\tau t+2\\pi f_o \\tau ) xIF​(t)=Acos(2πKτt+2πfo​τ)

由于
τ=2dc\\tau = \\frac{2d}{c} τ=c2d​

故相位$\varphi$
ϕ=2πfo2dc=4πfocd\\phi = 2\\pi f_o \\frac{2d}{c}=\\frac{4\\pi f_o}{c}d ϕ=2πfo​c2d​=c4πfo​​d

如果在这个range bin中的物体正在运动，那么每隔一个chirp的周期$CRT$，物体就会发生一个微动位移，而这个微动位移将造成相位较为剧烈的变化，即
Δϕ=4πfocΔd=4πf0cv⋅CRT\\Delta \\phi = \\frac{4\\pi f_o}{c} \\Delta d =\\frac{4\\pi f_0}{c}v \\cdot CRT Δϕ=c4πfo​​Δd=c4πf0​​v⋅CRT

如果我们将这个$CRT$看作一种采样，那么，对$\varphi$的变化进行分析，将能提取到有效的速度$v$的信息，这也正是我们采用frame传输的原因——获得速度信息。 这种视角先按下不表，最后再述。

我们也可将这个过程看作是相位差的周期性运动，那么我们对其进行FFT分析，也将得到这个周期性的相位差信息。

进一步转换到速度维，就有

v=c4πfo⋅CRTΔϕ=λ4π⋅CRTΔϕv = \\frac{c}{4\\pi f_o \\cdot CRT}\\Delta \\phi =\\frac{\\lambda}{4 \\pi \\cdot CRT}\\Delta \\phi v=4πfo​⋅CRTc​Δϕ=4π⋅CRTλ​Δϕ

于是我们要做的Doppler FFT 或者说 Velocity FFT即是取出Range FFT某个range bin对应的一列slow time数据进行FFT。

多普勒效应

那么问题来了，为什么叫Doppler FFT呢？在基本的物理学中，我们曾学习过基本的多普勒效应。举一个生活中的例子，你在街上听到一辆警车向你呼啸而来，你听到警笛的声音是越来越急的（这对应的即是声波的频率越来越高），而当警车越来越远时，你听的警笛是越来越疏的（这对应的即是声波的频率越来越低）。

在这里，我们用一个移动通信中描述移动台所造成的多普勒频偏公式（见Rappaport书中的123页），即
fd=vλcos⁡θf_d = \\frac{v}{\\lambda}\\cos \\theta fd​=λv​cosθ

在FMCW雷达考虑的场景中，取径向速度，即 $\cos \theta =1$，同时由于电波一发一收，于是造成的fdf_dfd​为

fd=2vλf_d = 2\\frac{v}{\\lambda} fd​=2λv​

进一步代入 v 的公式转换为

fd=Δϕ2π⋅CRTf_d = \\frac{\\Delta \\phi}{2 \\pi \\cdot CRT} fd​=2π⋅CRTΔϕ​

值得指出的是，主频率部分亦会由于物体的运动产生频偏。但当物体的距离d发生微小的变化时，IF signal 信号的相位变化非常明显，而频率的变化并不显著，远远达不到在CRT的时间内，区分信号的频率。 即相位变化对微动位移有着敏感性。

我们不如用TI教程中的例子来感性认识一下：取 $\lambda =4mm$，$CRT=40\mu s$，$K=50MHz/\mu s$，当物体发生一个1mm的微动位移时，有：

相位变化 Δϕ=4πΔdλ=π=180∘相位变化 \\ \\Delta \\phi = \\frac{4 \\pi \\Delta d}{\\lambda} =\\pi =180^{\\circ} 相位变化 Δϕ=λ4πΔd​=π=180∘

频率变化 Δf=2KcΔd=333Hz频率变化 \\ \\Delta f = \\frac{2K}{c} \\Delta d=333Hz 频率变化 Δf=c2K​Δd=333Hz

而这个频偏在slow time的频率轴引起的变化其实并不大，即
Δf⋅CRT=333×40×10−6=0.013cycles\\Delta f \\cdot CRT=333\\times 40 \\times 10 ^{-6} = 0.013 \\ cycles Δf⋅CRT=333×40×10−6=0.013 cycles

最大速度与速度分辨率

最大速度

由于$\Delta \varphi$ 的限制，给出了最大速度的限制，即
$$-\pi <\Delta \varphi <\pi$$
于是
−λ4⋅CRT<v<λ4⋅CRT-\\frac{\\lambda}{4 \\cdot CRT} < v <\\frac{\\lambda}{4 \\cdot CRT} −4⋅CRTλ​<v<4⋅CRTλ​

感性认识一下，比如用 $5mm$ 的毫米波雷达，再用 $100\mu s$ 的CRT，此时能达到的最大速度为
vmax=λ4⋅CRT=12.5m/sv_{max} = \\frac{\\lambda}{4 \\cdot CRT} =12.5m/s vmax​=4⋅CRTλ​=12.5m/s

速度分辨率

继续借用TI教程里的一张图（这里定义 $\omega =\Delta \varphi$），容易发现，速度分辨率与我们的在数字域上的角速度分辨率有关，由于
Δω=2πNradians/sample=1Ncycles/sample\\Delta \\omega = \\frac{2\\pi}{N} \\ radians/sample=\\frac{1}{N} \\ cycles/sample Δω=N2π​ radians/sample=N1​ cycles/sample

于是就有
Δv=λ4π⋅CRTΔω=λ2N⋅CRT\\Delta v = \\frac{\\lambda}{4 \\pi \\cdot CRT} \\Delta \\omega = \\frac{\\lambda}{2N \\cdot CRT} Δv=4π⋅CRTλ​Δω=2N⋅CRTλ​

仍用最大速度中的测算数据，并取 N = 512，我们感性认识到此时的速度分辨率为：
vres=λ2N⋅CRT=0.0488m/sv_{res} = \\frac{\\lambda}{2N \\cdot CRT}=0.0488m/s vres​=2N⋅CRTλ​=0.0488m/s

基于CRT的采样视角

如果我们基于CRT的采样视角去理解这个相位变化，那么对于式子
Δϕ=4πfocΔd=4πf0cv⋅CRT\\Delta \\phi = \\frac{4\\pi f_o}{c} \\Delta d =\\frac{4\\pi f_0}{c}v \\cdot CRT Δϕ=c4πfo​​Δd=c4πf0​​v⋅CRT
我们两边同除 $CRT$，就有：
ΔϕCRT=4πf0cv\\frac{\\Delta \\phi}{CRT}=\\frac{4\\pi f_0}{c}v CRTΔϕ​=c4πf0​​v
根据微分学的知识，我们知道左边可理解为对$\varphi$的微分，即
w=dϕdt=2πfpeakw = \\frac{d\\phi}{dt} = 2\\pi f_{peak} w=dtdϕ​=2πfpeak​
于是就有：
fpeak=2vλf_{peak} = 2\\frac{v}{\\lambda} fpeak​=2λv​
这个式子说明，从频率轴去看，此时直接测得的就是多普勒频偏。进一步就有：
v=λ2fpeakv =\\frac{\\lambda}{2 } f_{peak} v=2λ​fpeak​

由于此时 $CRT$ 的倒数即是我们等效的采样率。于是，频率分辨率的范围就在
−12⋅CRT<fpeak<12⋅CRT-\\frac{1}{2 \\cdot CRT} <f_{peak}<\\frac{1}{2\\cdot CRT} −2⋅CRT1​<fpeak​<2⋅CRT1​
于是，可得速度的测量范围为
−λ4⋅CRT<v<λ4⋅CRT-\\frac{\\lambda}{4 \\cdot CRT} < v <\\frac{\\lambda}{4 \\cdot CRT} −4⋅CRTλ​<v<4⋅CRTλ​
和速度的分辨率
vres=λ2fres=λ2N⋅CRTv_{res} =\\frac{\\lambda}{2 } f_{res} = \\frac{\\lambda}{2N \\cdot CRT} vres​=2λ​fres​=2N⋅CRTλ​

这种视角个人兴趣所至，以增参考。最后，同样用一张图结束本节的内容。