LeetCode算法小抄--归并排序详解及应用

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归并排序详解及应用

归并排序的代码框架

// 定义：排序 nums[lo..hi]
void sort(int[] nums, int lo, int hi) {if (lo == hi) {return;}int mid = (lo + hi) / 2;// 利用定义，排序 nums[lo..mid]sort(nums, lo, mid);// 利用定义，排序 nums[mid+1..hi]sort(nums, mid + 1, hi);/****** 后序位置 ******/// 此时两部分子数组已经被排好序// 合并两个有序数组，使 nums[lo..hi] 有序merge(nums, lo, mid, hi);/*********************/
}// 将有序数组 nums[lo..mid] 和有序数组 nums[mid+1..hi]
// 合并为有序数组 nums[lo..hi]
void merge(int[] nums, int lo, int mid, int hi);

总结归并排序：先把左半边数组排好序，再把右半边数组排好序，然后把两半数组合并。

类似于二叉树的后序遍历：先递归左子树，再递归右子树，然后写后序位置

归并排序的过程可以在逻辑上抽象成一棵二叉树，树上的每个节点的值可以认为是 nums[lo..hi]，叶子节点的值就是数组中的单个元素

然后，在每个节点的后序位置（左右子节点已经被排好序）的时候执行 merge 函数，合并两个子节点上的子数组

class Merge {// 用于辅助合并有序数组private static int[] temp;public static void sort(int[] nums) {// 先给辅助数组开辟内存空间temp = new int[nums.length];// 排序整个数组（原地修改）sort(nums, 0, nums.length - 1);}// 定义：将子数组 nums[lo..hi] 进行排序private static void sort(int[] nums, int lo, int hi) {if (lo == hi) {// 单个元素不用排序return;}// 这样写是为了防止溢出，效果等同于 (hi + lo) / 2int mid = lo + (hi - lo) / 2;// 先对左半部分数组 nums[lo..mid] 排序sort(nums, lo, mid);// 再对右半部分数组 nums[mid+1..hi] 排序sort(nums, mid + 1, hi);// 将两部分有序数组合并成一个有序数组merge(nums, lo, mid, hi);}// 将 nums[lo..mid] 和 nums[mid+1..hi] 这两个有序数组合并成一个有序数组private static void merge(int[] nums, int lo, int mid, int hi) {// 先把 nums[lo..hi] 复制到辅助数组中// 以便合并后的结果能够直接存入 numsfor (int i = lo; i <= hi; i++) {temp[i] = nums[i];}// 数组双指针技巧，合并两个有序数组int i = lo, j = mid + 1;for (int p = lo; p <= hi; p++) {if (i == mid + 1) {// 左半边数组已全部被合并nums[p] = temp[j++];} else if (j == hi + 1) {// 右半边数组已全部被合并nums[p] = temp[i++];} else if (temp[i] > temp[j]) {nums[p] = temp[j++];} else {nums[p] = temp[i++];}}}
}

注意我们不是在 merge 函数执行的时候 new 辅助数组，而是提前把 temp 辅助数组 new 出来了，这样就避免了在递归中频繁分配和释放内存可能产生的性能问题

归并排序的时间复杂度， O(NlogN)

递归算法的复杂度计算，就是子问题个数 x 解决一个子问题的复杂度

执行的次数是二叉树节点的个数，每次执行的复杂度就是每个节点代表的子数组的长度，所以总的时间复杂度就是整棵树中「数组元素」的个数。

所以从整体上看，这个二叉树的高度是 logN，其中每一层的元素个数就是原数组的长度 N，所以总的时间复杂度就是 O(NlogN)。

912. 排序数组

给你一个整数数组 nums，请你将该数组升序排列。

// class Solution {
//     public int[] sortArray(int[] nums) {
//         // API选手（手动狗头）
//         Arrays.sort(nums);
//         return nums;
//     }
// }// 归并排序
class Solution {public int[] sortArray(int[] nums) {Merge.sort(nums);return nums;}
}
class Merge {// 用于辅助合并有序数组private static int[] temp;public static void sort(int[] nums) {// 先给辅助数组开辟内存空间temp = new int[nums.length];// 排序整个数组（原地修改）sort(nums, 0, nums.length - 1);}// 定义：将子数组 nums[lo..hi] 进行排序private static void sort(int[] nums, int lo, int hi) {if (lo == hi) {// 单个元素不用排序return;}// 这样写是为了防止溢出，效果等同于 (hi + lo) / 2int mid = lo + (hi - lo) / 2;// 先对左半部分数组 nums[lo..mid] 排序sort(nums, lo, mid);// 再对右半部分数组 nums[mid+1..hi] 排序sort(nums, mid + 1, hi);// 将两部分有序数组合并成一个有序数组merge(nums, lo, mid, hi);}// 将 nums[lo..mid] 和 nums[mid+1..hi] 这两个有序数组合并成一个有序数组private static void merge(int[] nums, int lo, int mid, int hi) {// 先把 nums[lo..hi] 复制到辅助数组中// 以便合并后的结果能够直接存入 numsfor (int i = lo; i <= hi; i++) {temp[i] = nums[i];}// 数组双指针技巧，合并两个有序数组int i = lo, j = mid + 1;for (int p = lo; p <= hi; p++) {if (i == mid + 1) {// 左半边数组已全部被合并nums[p] = temp[j++];} else if (j == hi + 1) {// 右半边数组已全部被合并nums[p] = temp[i++];} else if (temp[i] > temp[j]) {nums[p] = temp[j++];} else {nums[p] = temp[i++];}}}
}

315. 计算右侧小于当前元素的个数[hard]–华为笔试

给你一个整数数组 nums ，按要求返回一个新数组 counts 。数组 counts 有该性质： counts[i] 的值是 nums[i] 右侧小于 nums[i] 的元素的数量。

class Solution {public List<Integer> countSmaller(int[] nums) {// 暴力破解// 超出时间限制List<Integer> counts = new LinkedList<>();for(int i = 0; i < nums.length; i++){int count = 0;for(int j = i + 1; j < nums.length; j++){if(nums[j] < nums[i]) count++;}counts.add(count);}return counts;}
}

考虑归并排序

和归并排序什么关系呢，主要在 merge 函数，我们在使用 merge 函数合并两个有序数组的时候，其实是可以知道一个元素 nums[i] 后边有多少个元素比 nums[i] 小的。

这时候我们应该把 temp[i] 放到 nums[p] 上，因为 temp[i] < temp[j]。

但就在这个场景下，我们还可以知道一个信息：5 后面比 5 小的元素个数就是 左闭右开区间 [mid + 1, j) 中的元素个数，即 2 和 4 这两个元素：

换句话说，在对 nums[lo..hi] 合并的过程中，每当执行 nums[p] = temp[i] 时，就可以确定 temp[i] 这个元素后面比它小的元素个数为 j - mid - 1。

class Solution {private class Pair {int val, id;Pair(int val, int id) {// 记录数组的元素值this.val = val;// 记录元素在数组中的原始索引this.id = id;}}// 归并排序所用的辅助数组private Pair[] temp;// 记录每个元素后面比自己小的元素个数private int[] count;public List<Integer> countSmaller(int[] nums) {int n = nums.length;count = new int[n];temp = new Pair[n];   Pair[] arr = new Pair[n];// 记录元素原始的索引位置，以便在 count 数组中更新结果for (int i = 0; i < n; i++)arr[i] = new Pair(nums[i], i);// 执行归并排序，本题结果被记录在 count 数组中sort(arr, 0, n - 1);List<Integer> res = new LinkedList<>();for (int c : count) res.add(c);return res;             }// 归并排序private void sort(Pair[] arr, int lo, int hi) {if (lo == hi) return;int mid = lo + (hi - lo) / 2;sort(arr, lo, mid);sort(arr, mid + 1, hi);merge(arr, lo, mid, hi);}// 合并两个有序数组private void merge(Pair[] arr, int lo, int mid, int hi) {for (int i = lo; i <= hi; i++) {temp[i] = arr[i];}int i = lo, j = mid + 1;for (int p = lo; p <= hi; p++) {if (i == mid + 1) { // 左边数组已经排序好了arr[p] = temp[j++];} else if (j == hi + 1) { // 右边数组已经排序好了arr[p] = temp[i++];// 更新 count 数组count[arr[p].id] += j - mid - 1;} else if (temp[i].val > temp[j].val) {arr[p] = temp[j++];} else {arr[p] = temp[i++];// 更新 count 数组count[arr[p].id] += j - mid - 1;}}}    
}

因为在排序过程中，每个元素的索引位置会不断改变，所以我们用一个 Pair 类封装每个元素及其在原始数组 nums 中的索引，以便 count 数组记录每个元素之后小于它的元素个数。

493. 翻转对[hard]

给定一个数组 nums ，如果 i < j 且 nums[i] > 2*nums[j] 我们就将 (i, j) 称作一个重要翻转对。

你需要返回给定数组中的重要翻转对的数量。

这道题目和题目是一个意思，而且和上一道题非常类似，只不过上一题求的是 nums[i] > nums[j]，这里求的是 nums[i] > 2*nums[j] 罢了

解题的思路当然还是要在 merge 函数中做点手脚，当 nums[lo..mid] 和 nums[mid+1..hi] 两个子数组完成排序后，对于 nums[lo..mid] 中的每个元素 nums[i]，去 nums[mid+1..hi] 中寻找符合条件的 nums[j] 就行了

// 记录「翻转对」的个数
int count = 0;// 将 nums[lo..mid] 和 nums[mid+1..hi] 这两个有序数组合并成一个有序数组
private void merge(int[] nums, int lo, int mid, int hi) {for (int i = lo; i <= hi; i++) {temp[i] = nums[i];}// 在合并有序数组之前，加点私货for (int i = lo; i <= mid; i++) {// 对于左半边的每个 nums[i]，都去右半边寻找符合条件的元素for (int j = mid + 1; j <= hi; j++) {// nums 中的元素可能较大，乘 2 可能溢出，所以转化成 longif ((long)nums[i] > (long)nums[j] * 2) {count++;}}}// 数组双指针技巧，合并两个有序数组int i = lo, j = mid + 1;for (int p = lo; p <= hi; p++) {if (i == mid + 1) {nums[p] = temp[j++];} else if (j == hi + 1) {nums[p] = temp[i++];} else if (temp[i] > temp[j]) {nums[p] = temp[j++];} else {nums[p] = temp[i++];}}
}

不过呢，这段代码提交会超时，毕竟额外添加了一个嵌套 for 循环。怎么进行优化呢，注意子数组 nums[lo..mid] 是排好序的，也就是 nums[i] <= nums[i+1]。

所以，对于 nums[i], lo <= i <= mid，我们在找到的符合 nums[i] > 2*nums[j] 的 nums[j], mid+1 <= j <= hi，也必然也符合 nums[i+1] > 2*nums[j]。

换句话说，我们不用每次都傻乎乎地去遍历整个 nums[mid+1..hi]，只要维护一个开区间边界 end，维护 nums[mid+1..end-1] 是符合条件的元素即可

class Solution {public int reversePairs(int[] nums) {// 执行归并排序sort(nums);return count;}private int[] temp;public void sort(int[] nums) {temp = new int[nums.length];sort(nums, 0, nums.length - 1);}  // 归并排序private void sort(int[] arr, int lo, int hi) {if (lo == hi) return;int mid = lo + (hi - lo) / 2;sort(arr, lo, mid);sort(arr, mid + 1, hi);merge(arr, lo, mid, hi);}// 记录「翻转对」的个数private int count = 0;private void merge(int[] nums, int lo, int mid, int hi) {for (int i = lo; i <= hi; i++) {temp[i] = nums[i];}// 进行效率优化，维护左闭右开区间 [mid+1, end) 中的元素乘 2 小于 nums[i]// 为什么 end 是开区间？因为这样的话可以保证初始区间 [mid+1, mid+1) 是一个空区间int end = mid + 1;for (int i = lo; i <= mid; i++) {// nums 中的元素可能较大，乘 2 可能溢出，所以转化成 longwhile (end <= hi && (long)nums[i] > (long)nums[end] * 2) {end++;}count += end - (mid + 1);}// 数组双指针技巧，合并两个有序数组int i = lo, j = mid + 1;for (int p = lo; p <= hi; p++) {if (i == mid + 1) {nums[p] = temp[j++];} else if (j == hi + 1) {nums[p] = temp[i++];} else if (temp[i] > temp[j]) {nums[p] = temp[j++];} else {nums[p] = temp[i++];}}}          
}

327. 区间和的个数[hard]

给你一个整数数组 nums 以及两个整数 lower 和 upper 。求数组中，值位于范围 [lower, upper] （包含 lower 和 upper）之内的 区间和的个数 。

区间和 S(i, j) 表示在 nums 中，位置从 i 到 j 的元素之和，包含 i 和 j (i ≤ j)。

简单说，题目让你计算元素和落在 [lower, upper] 中的所有子数组的个数。

首先，解决这道题需要快速计算子数组的和，创建一个前缀和数组 preSum 来辅助我们迅速计算区间和。

preSum 中的两个元素之差其实就是区间和。

class Solution {private int lower, upper;public int countRangeSum(int[] nums, int lower, int upper) {this.lower = lower;this.upper = upper;// 构建前缀和数组，注意 int 可能溢出，用 long 存储long[] preSum = new long[nums.length + 1];for (int i = 0; i < nums.length; i++) {preSum[i + 1] = (long)nums[i] + preSum[i];}// 对前缀和数组进行归并排序sort(preSum);return count;}private long[] temp;public void sort(long[] nums) {temp = new long[nums.length];sort(nums, 0, nums.length - 1);}private void sort(long[] nums, int lo, int hi) {if (lo == hi) {return;}int mid = lo + (hi - lo) / 2;sort(nums, lo, mid);sort(nums, mid + 1, hi);merge(nums, lo, mid, hi);}private int count = 0;private void merge(long[] nums, int lo, int mid, int hi) {for (int i = lo; i <= hi; i++) {temp[i] = nums[i];}// 在合并有序数组之前加点私货（这段代码会超时）// for (int i = lo; i <= mid; i++) {//     for (int j = mid + 1; j <= hi; k++) {//         // 寻找符合条件的 nums[j]//         long delta = nums[j] - nums[i];//         if (delta <= upper && delta >= lower) {//             count++;//         }//     }// }// 进行效率优化// 维护左闭右开区间 [start, end) 中的元素和 nums[i] 的差在 [lower, upper] 中int start = mid + 1, end = mid + 1;for (int i = lo; i <= mid; i++) {// 如果 nums[i] 对应的区间是 [start, end)，// 那么 nums[i+1] 对应的区间一定会整体右移，类似滑动窗口while (start <= hi && nums[start] - nums[i] < lower) {start++;}while (end <= hi && nums[end] - nums[i] <= upper) {end++;}count += end - start;}// 数组双指针技巧，合并两个有序数组int i = lo, j = mid + 1;for (int p = lo; p <= hi; p++) {if (i == mid + 1) {nums[p] = temp[j++];} else if (j == hi + 1) {nums[p] = temp[i++];} else if (temp[i] > temp[j]) {nums[p] = temp[j++];} else {nums[p] = temp[i++];}}}
}

我们依然在 merge 函数合并有序数组之前加了一些逻辑，这个效率优化有点类似维护一个滑动窗口，让窗口中的元素和 nums[i] 的差落在 [lower, upper] 中。

所有递归的算法，本质上都是在遍历一棵（递归）树，然后在节点（前中后序位置）上执行代码。你要写递归算法，本质上就是要告诉每个节点需要做什么。

–end–