CF55D-Beautiful numbers (数位dp)
lcm(1,2,3,4,5,6,7,8,9)=2520lcm(1,2,3,4,5,6,7,8,9)=2520lcm(1,2,3,4,5,6,7,8,9)=2520
- 若 xxx 能被它自己的所有非零位的数字整除,即能被它们的最小公倍数整除, x≡0(modlcm({digit[i]}))x \\equiv 0(mod\\ lcm(\\{digit[i]\\}))x≡0(mod lcm({digit[i]}));
- 2520≡0(modlcm({digit[i]}))2520 \\equiv 0(mod\\ lcm(\\{digit[i]\\}))2520≡0(mod lcm({digit[i]}))
- 若 x≡0(modlcm({digit[i]}))x \\equiv 0(mod\\ lcm(\\{digit[i]\\}))x≡0(mod lcm({digit[i]})),则 (xmod2520)≡0(modlcm({digit[i]}))(x\\ mod\\ 2520) \\equiv 0(mod\\ lcm(\\{digit[i]\\}))(x mod 2520)≡0(mod lcm({digit[i]}))
由以上可得,判断 xxx 只需判断 xmod2520x\\ mod\\ 2520x mod 2520。
- 令
dp[i][j][k]
表示前 iii 位,表示的数模 252025202520 的余数为 jjj,前 iii 位的最小公倍数为 kkk,这样空间为 dp[20][2525][2525]dp[20][2525][2525]dp[20][2525][2525],明显 MLEMLEMLE; - 考虑到 252025202520 的约数共 484848 个,不是约数的最小公倍数都没有用,所以,可以将换为 kkk 前 iii 位最小公倍数的元素个数,最后一维通过离散化降到 505050,从而空间为 dp[20][2525][50]dp[20][2525][50]dp[20][2525][50]。