矩阵理论1 集合上的等价关系（equivalence relations on a set S）

等价关系，听起来好像很高深，其实就是一种“分类”的方法。比如，你和你的同桌，虽然你们长得不一样，但你们可能在“同学”这个大类里算是一样的。数学上，等价关系需要满足三个条件：自反性（你总是和自己一样）、对称性（如果你和对方是同学，对方和你也是同学）、传递性（如果A和B是同学，B和C是同学，那么A和C也是同学）。这就像班级里的“同学”关系，每个人都是自己同学，同学关系互相存在，而且可以传递给其他同学。

那为什么等价关系这么重要呢？因为它能帮助我们把复杂的东西分成更简单的“类别”。比如在文件夹里，你可以把文件按照类型分类，这样找东西就方便多了。数学家们用等价关系来把复杂的元素分成更容易处理的等价类。所以，下次当你在整理东西时，其实你已经在不知不觉得用到等价关系了！

定义

对于一个集合S, 如果集合$\mathcal{E}\subset S\times S$满足以下条件

1. 自反性: 对于$\forall s\in S,都有(s,s)\in \mathcal{E}$
2. 对称性: $(s,t)\in \mathcal{E}\iff (t,s)\in \mathcal{E}$
3. 传递性: 如果$(s,t)\in \mathcal{E}$ 且$(t,u)\in \mathcal{E}$, 则$(s,u)\in \mathcal{E}$

如果$(s,t)\in \mathcal{E}$, 我们可以将这种情况记为$s\sim t$.
给定$t\in S$, 我们将*$t$在等价关系$\mathcal{E}$下的等价类*记为$[t]$, 其中$[t]\subset$