一个左节点u << 1和右节点u << 1 | 1 的证明

区间修改部分

1.批量等值修改

前提条件

是要区间修改，区间查询，且修改操作修改的值是相同的

情景

一般是要对一个数组执行k次操作，每次改变其中一个区间内所有元素的值，然后询问一个区间内所有元素的最值或总和，

题解代码

void Pushdown(int k){    //更新子树的lazy值，这里是RMQ的函数，要实现区间和等则需要修改函数内容if(lazy[k]){    //如果有lazy标记lazy[k<<1] += lazy[k];    //更新左子树的lazy值lazy[k<<1|1] += lazy[k];    //更新右子树的lazy值t[k<<1] += lazy[k];        //左子树的最值加上lazy值t[k<<1|1] += lazy[k];    //右子树的最值加上lazy值lazy[k] = 0;    //lazy值归0}
}

注意懒标记中储存区间修改的值与长度的乘积，大概率开long long

struct node {int l, r;ll val;ll lazy;
}t[N << 2];
void pushdown(node& op, ll lazy) {op.val += lazy * (op.r - op.l + 1);op.lazy += lazy;
}
void pushdown(int x) {if (!t[x].lazy) return;pushdown(t[x << 1], t[x].lazy), pushdown(t[x << 1 | 1], t[x].lazy);t[x].lazy = 0;
}
void build(int l, int r, int x = 1\\没有值传入时，默认初始化为1) {t[x] = { l, r, w[l], 0 };if (l == r) return;int mid = l + r >> 1;build(l, mid, x << 1), build(mid + 1, r, x << 1 | 1);pushup(x);
}void modify(int l, int r, int c, int x = 1) {if (l <= tr[x].l && r >= tr[x].r) { pushdown(tr[x], c); return; }\\通过打标记的方法来赋值pushdown(x);操作时遇到了懒标记就处理下（懒的思想，顺路就搞下，不顺路就拖着不干）int mid = tr[x].l + tr[x].r >> 1;if (l <= mid) modify(l, r, c, x << 1);\\modify的递归也变成了和线段树单点修改query里的递归形式，有交集就递归。if (r > mid) modify(l, r, c, x << 1 | 1);pushup(x);
}ll ask(int l, int r, int x = 1) {if (l <= t[x].l && r >= tr[x].r) return tr[x].val;pushdown(x);//query的唯一变化就是加上了一个pushdown();int mid = tr[x].l + tr[x].r >> 1;ll res = 0;if (l <= mid) res += ask(l, r, x << 1);if (r > mid) res += ask(l, r, x << 1 | 1);return res;
}int main()
{int n, m; cin >> n >> m;rep(i, n) scanf("%d", &w[i]);build(1, n);while (m--) {char op[2]; int l, r; scanf("%s %d %d", op, &l, &r);if (*op == 'Q') printf("%lld\\n", ask(l, r));else {int c; scanf("%d", &c);modify(l, r, c);}}return 0;
}

自己写的acwing式代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
typedef long long ll;
struct node{int l,r;ll sum;ll lazy;
}tr[N<<2];
int w[N];void pushdown(node &x,ll lazy){x.sum += lazy*(x.r - x.l + 1);x.lazy += lazy;
}
void pushdown(int u){if(!tr[u].lazy) return;pushdown(tr[u<<1],tr[u].lazy),pushdown(tr[u<<1|1],tr[u].lazy);tr[u].lazy = 0;
}
void pushup(int u){tr[u].sum = tr[u<<1].sum + tr[u<<1|1].sum;
}
void build(int u,int l,int r){tr[u].l = l,tr[u].r = r,tr[u].sum =w[r];if(l == r) return;int mid = l + r >> 1;build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);pushup(u);
}
ll query(int u,int l,int r){if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].sum;ll res = 0;int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;pushdown(u);if(l <= mid) res += query(u<<1,l,r);if(r > mid) res += query(u<<1|1,l,r);return res;
}
void modify(int u,int l,int r,int v){if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r){pushdown(tr[u],v);return;}pushdown(u);int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;if(l <= mid) modify(u<<1,l,r,v);if(r > mid) modify(u<<1|1,l,r,v); pushup(u);
}
int main(){int n,m;cin >> n >> m;for(int i =1;i <= n;i++) scanf("%d",&w[i]);build(1,1,n);while(m--){char op[2];int l,r;scanf("%s%d%d",op,&l,&r);if(*op == 'Q') printf("%lld\\n",query(1,l,r));else{int c;scanf("%d",&c);modify(1,l,r,c);}}return 0;
}

注意：

线段树的初始化在build里完成，多组数据集时不需要再额外初始化。

2.批量自适应修改

前提条件

是区间修改，区间查询，且修改操作的修改的值是根据具体节点储存的值而变化的，比如开根，幂，替换，乘除；

情景

对一个序列里的元素执行k次自适应操作，每次操作一个区间，然后询问区间内所有元素的值。
也有询问某个区间内所有值经过某种处理后的值。（此种问法是询问时用一个变量储存找到的值，经过处理后返回

例题1单种操作

Can you answer these queries?
22ACM集训队-树状数组与线段树基础 - Virtual Judge (vjudge.net)
主要就是把modify的递归条件改成了和传统query操作相同的有交集
复杂度比较高，可能需要一些剪枝，某条件下操作了等于白操作之类的。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 10;
struct node{int l,r;ll sum;
}tr[N<<2];
ll w[N];
void pushup(int u){tr[u].sum = tr[u<<1].sum + tr[u<<1|1].sum;
}
void build(int u,int l,int r){tr[u] = {l,r,w[r]};
//	cout << w[r] << endl;if(l == r) return;int mid = l + r >> 1;build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);pushup(u);
}
ll query(int u,int l,int r){if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) {return tr[u].sum;}	
//		cout << tr[u].sum;ll res =0 ;int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;if(l <= mid) res += query(u<<1,l,r);if(r > mid) res += query(u<<1|1,l,r);return res;
}
void modify(int u,int l,int r){if(tr[u].l == tr[u].r) tr[u].sum = sqrt(tr[u].sum);else{if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r && tr[u].sum == tr[u].r - tr[u].l + 1) return;int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;if(l <= mid) modify(u<<1,l,r);if(r > mid) modify(u<<1|1,l,r);pushup(u);	}}int main()
{int T = 1;int n, m;while (cin >> n) {for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%lld", &w[i]);build(1,1, n);printf("Case #%d:\\n", T++);scanf("%d", &m);while (m--) {int op, l, r; scanf("%d %d %d", &op, &l, &r);if (l > r) swap(l, r);
//            cout << l << " " << r << endl;if (op) printf("%lld\\n", query(1,l, r));else modify(1,l, r);}printf("\\n");}return 0;
}

例题2多种操作

Transformation HDU - 4578
22ACM集训队-树状数组与线段树基础 - Virtual Judge (vjudge.net)

题解代码

Transformation HDU - 4578 （线段树，审题很重要）_Soar-的博客-CSDN博客

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
#define lson i<<1,l,m
#define rson i<<1|1, m+1,r
const int mod = 10007;
const int maxn=1e5+10;int x[maxn<<2],flag[maxn<<2];x是tr，flag是lazy
void pushup(int i,int l,int r)
{if(!flag[i<<1] || !flag[i<<1|1])左右子节点无值flag[i] = 0;else if(x[i<<1] != x[i<<1|1])左右子节点有值且不等flag[i] = 0;else flag[i]=1,x[i]=x[i<<1];左右子节点值相等所以这是一个记录懒标记的函数，如果左右子节点的值相同，就上传。通过用父节点的节点的值来代表子节点的值接受处理，降低复杂度
}void pushdown(int i,int l,int r)
{if(flag[i]){flag[i<<1] = flag[i<<1|1] =1;x[i<<1] = x[i<<1|1] = x[i];flag[i]=0;}这是一个下传懒标记并处理懒标记的函数，如果有懒标记，说明这个节点是代表子节点接受处理的，所以直接将值下传到子节点，然后清除懒标记
}void update(int ql,int qr,int p,int v,int i,int l,int r)
{妙：直接传入op，也就是p，根据p的值进行不同操作，减少了很多赘余的代码。我写时想的是写3个modify，也就是update，根据op不同，调用不同的modify，麻烦得很。if(ql<=l && qr>=r && flag[i])这里是有懒标记，且节点区间全都在需要处理的区间内，直接处理当前节点，然后pushdown，就可以实现区间处理{if(p==1)x[i] = (x[i]+v)%mod;else if(p==2)x[i] = (x[i]*v)%mod;else x[i] = v;修改当前节点值的话是不需要pushup的，因为pushup的操作是根据子节点的值来决定是否赋予当前节点一个懒标记，只修改当前节点值，代表当前节点已经是叶子节点，或者左右节点值相同，所以就算pushup了，懒标记还是会保持原有状态return;}pushdown(i,l,r);可能没有懒标记，会需要逐个单点修改，所以用两个if的原始query递归形式int m = (l+r)>>1;if(ql<=m) update(ql,qr,p,v,lson);if(qr>m) update(ql,qr,p,v,rson);进行子节点单点值修改操作后都需要pushup，来更新懒标记状态pushup(i,l,r);
}
int query(int ql,int qr,int num,int i,int l,int r)
l,r是当前节点的l，r
{if(flag[i] && ql<=l && qr>=r){int ans=1;for(int j=0;j<num;j++)ans=(ans*x[i])%mod;//pow操作，每次pow取余，如果是10007的三次方就有可能爆int了，所以用循环来每次操作后取余ans=(ans*(r-l+1))%mod;return ans;}pushdown(i,l,r);int m = (l+r)>>1;int ans=0;if(ql<=m)ans+=query(ql,qr,num,lson);if(qr>m)ans+=query(ql,qr,num,rson);return ans%mod;
}int main()
{int n,m;while(cin>>n>>m,n||m){memset(flag,1,sizeof flag);memset(x,0,sizeof x);int p,x,y,v;while(m--){scanf("%d%d%d%d",&p,&x,&y,&v);if(p>=1 && p<=3)update(x,y,p,v,1,1,n);else printf("%d\\n",query(x,y,v,1,1,n));}}
}

经过模仿后得到的acwing版代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10,mod = 10007;
struct node{int l,r;int sum;int lazy;
}tr[N<<2];
void pushup(int u){if(!tr[u<<1].lazy || !tr[u<<1|1].lazy) tr[u].lazy = 0;有一个子节点懒标记是0（当前节点的子节点的两个子节点的值不相等）则当前节点懒标记就变成0，由此可以推断出，懒标记的含义是表示当前节点的子树里所有节点的值 ，都相等，可以直接用当前节点的值来进行操作。 else if(tr[u<<1].sum != tr[u<<1|1].sum) tr[u].lazy = 0;else tr[u].lazy = 1,tr[u].sum = tr[u<<1].sum;
}
void pushdown(int u){if(tr[u].lazy){tr[u<<1].lazy = tr[u<<1|1].lazy = 1;tr[u<<1].sum = tr[u<<1|1].sum = tr[u].sum;tr[u].lazy = 0;}
}
void build(int u,int l,int r){tr[u] = {l,r,0,1};if(l == r) return;int mid = l + r >> 1;build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);
}
void modify(int u,int l,int r,int op,int v){if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r && tr[u].lazy){if(op == 1) tr[u].sum = (tr[u].sum + v) % mod;else if(op == 2) tr[u].sum = (tr[u].sum * v)%mod;else {tr[u].sum = v;	}		return;}pushdown(u);有懒标记要先处理，然后再运算。int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;if(l <= mid) modify(u<<1,l,r,op,v);if(r > mid) modify(u<<1|1,l,r,op,v);pushup(u);}
int query(int u,int l,int r,int v){if(tr[u].l  >= l && tr[u].r <= r && tr[u].lazy){int res = 1;for(int i = 0;i < v;i++) res = (res * tr[u].sum) % mod;res = res * (tr[u].r - tr[u].l + 1) % mod;return res;}pushdown(u);int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;int res = 0;if(l <= mid) res = (res + query(u<<1,l,r,v) )	%mod; if(r > mid) res = (res + query(u<<1|1,l,r,v)) % mod;return res % mod;
}
int main(){int n,m;while(cin >> n >> m,n||m){
//		for(int i=0;i <= N << 2;i++) tr[i]= {0,0,0,0};	build(1,1,n);int op,l,r,v;while(m--){scanf("%d%d%d%d",&op,&l,&r,&v);
//			cout << op << " " << l << " " << r << " " << v << endl;if(op >=1 && op <= 3){modify(1,l,r,op,v);}else {printf("%d\\n",query(1,l,r,v));}}}return  0;
}

注意

注意点就是非数组模拟节点的代码要用build初始化，然后懒标记初始化为1，因为代表的含义是两个子节点值是否相等

其他套路：

涉及到一个多组输入的套路
前提条件是没有明确组数，结束关键词的多组数据集输入
取反while（~scanf(“%d”,&n)
和while(scanf(“%d”,&n) != EOF)
还有while（cin >> n)三种形式