一、AVL的性质

平衡二叉树
AVL树得名于它的俄罗斯发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它

防止二分搜索树出现退化成链表的情况

1.2 平衡二叉树定义

之前讲过的 完全二叉树：差值不会超过1，缺失一定在右下侧

平衡二叉树：高度(左子树) - (右子树) <= 1

和完全二叉树的区别：

二、添加需达到平衡

2.1 平衡因子

再次2添加带来的问题：

1. 标记节点的高度
2. 计算平衡因子
   
3. 平衡因子 > 1 就需要重新整理

2.1.2 平衡因子的实现

import java.util.ArrayList;public class AVLTree<K extends Comparable<K>, V> {private class Node{public K key;public V value;public Node left, right;public int height;public Node(K key, V value){this.key = key;this.value = value;left = null;right = null;height = 1;}}private Node root;private int size;public AVLTree(){root = null;size = 0;}public int getSize(){return size;}public boolean isEmpty(){return size == 0;}// 获得节点node的高度private int getHeight(Node node){if(node == null)return 0;return node.height;}// 获得节点node的平衡因子private int getBalanceFactor(Node node){if(node == null)return 0;return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);}// 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)public void add(K key, V value){root = add(root, key, value);}// 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法// 返回插入新节点后二分搜索树的根private Node add(Node node, K key, V value){if(node == null){size ++;return new Node(key, value);}if(key.compareTo(node.key) < 0)node.left = add(node.left, key, value);else if(key.compareTo(node.key) > 0)node.right = add(node.right, key, value);else // key.compareTo(node.key) == 0node.value = value;// 更新heightnode.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));// 计算平衡因子int balanceFactor = getBalanceFactor(node);if(Math.abs(balanceFactor) > 1)System.out.println("unbalanced : " + balanceFactor);return node;}

2.2 判断该二叉树是否为平衡二叉树

// 判断该二叉树是否是一棵二分搜索树public boolean isBST(){ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();inOrder(root, keys);for(int i = 1 ; i < keys.size() ; i ++)if(keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0)return false;return true;}//用中序遍历，查看是否是从小到大private void inOrder(Node node, ArrayList<K> keys){if(node == null)return;inOrder(node.left, keys);keys.add(node.key);inOrder(node.right, keys);}

判断树是否为平衡二叉树

// 判断该二叉树是否是一棵平衡二叉树public boolean isBalanced(){return isBalanced(root);}// 判断以Node为根的二叉树是否是一棵平衡二叉树，递归算法private boolean isBalanced(Node node){if(node == null)return true;int balanceFactor = getBalanceFactor(node);if(Math.abs(balanceFactor) > 1)return false;return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);}// 获得节点node的高度private int getHeight(Node node){if(node == null)return 0;return node.height;}// 获得节点node的平衡因子private int getBalanceFactor(Node node){if(node == null)return 0;return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);}

2.3 左旋右旋

2.3.1 左旋LL右旋RR基本原理

这个左旋可不能减肥

之前在BST中的add后维护

在AVL中，之前的例子 add(2)

8的平衡因子2
简化刚才的例子，T1…5 为叶子 可能为空

    // 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x//        y                              x//       / \\                           /   \\//      x   T4     向右旋转 (y)        z     y//     / \\       - - - - - - - ->    / \\   / \\//    z   T3                       T1  T2 T3 T4//   / \\// T1   T2private Node rightRotate(Node y) {Node x = y.left;Node T3 = x.right;// 向右旋转过程x.right = y;y.left = T3;// 更新heighty.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;return x;}

左旋转类似

// 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x//    y                             x//  /  \\                          /   \\// T1   x      向左旋转 (y)       y     z//     / \\   - - - - - - - ->   / \\   / \\//   T2  z                     T1 T2 T3 T4//      / \\//     T3 T4private Node leftRotate(Node y) {Node x = y.right;Node T2 = x.left;// 向左旋转过程x.left = y;y.right = T2;// 更新heighty.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;return x;}

2.3.2 LR RL

当插入4 10 的时候，就不能简单的旋转了

因为10 > 8 所以直接旋转还是不满足BST

例子中的是LR的情况，需要先对x做一次左旋转

LR

转换成了LL的情况

RL

转换成了RR

    // 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法// 返回插入新节点后二分搜索树的根private Node add(Node node, K key, V value){if(node == null){size ++;return new Node(key, value);}if(key.compareTo(node.key) < 0)node.left = add(node.left, key, value);else if(key.compareTo(node.key) > 0)node.right = add(node.right, key, value);else // key.compareTo(node.key) == 0node.value = value;// 更新heightnode.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));// 计算平衡因子int balanceFactor = getBalanceFactor(node);// 平衡维护if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0)return rightRotate(node);if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0)return leftRotate(node);//LRif (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {node.left = leftRotate(node.left);return rightRotate(node);}//RLif (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {node.right = rightRotate(node.right);return leftRotate(node);}return node;}

三、AVL中删除

和添加类似