[Daimayuan] 高利贷（C++，二分）

$19$岁的大学生小 $L$ 家里情况不好，每月固定生活费不足以买一部苹果手机。当他得知有贷款机构可以贷小额贷款并且可以分期等额还款，每月只需要还几百块时，在虚荣心的驱使下他开始自己的贷款之旅。

贷款机构声称利率按月累计，贷款人在贷款期间每月偿还固定的分期付款金额。

给出小 $L$ 贷款的原值为 $n$，分期付款金额 $m$ 和分期付款还清贷款所需的总月数 $k$，求该贷款的月利率 $p$。

输入格式

三个用空格隔开的正整数 $n$，$m$，$k$，含义如上述所示。

输出格式

一个实数 $p$，表示该贷款的月利率（用小数表示），和标准输出绝对值不超过10−610^{−6}10−6即可。

数据范围

1≤n,m≤1061≤n,m≤10^61≤n,m≤106,$1\le k\le 300$

$0\le p\le 5$,

$n\le m\times k$

输入样例1

1000 1200 1

输出样例1

0.200000

输入样例2

1000 100 12

输出样例2

0.029229

样例解释

对于第一组样例，小 $L$ 贷款了 $1000$ 元，并在一个月后支付 $1200$ 元还清了贷款。因此计算月利率 $p$ 的公式为 $1000\times (1+p)=1200$ 或 1200(1+p)=1000\\frac{1200}{(1+p)}=1000(1+p)1200​=1000，求出 $p=0.200000$。

对于第二组样例，小 $L$ 贷款了 $1000$ 元，并以每月支付 $100$ 元的方式在 $12$ 个月后还清了贷款。由于月利率的存在，他第 $k$ 个月偿还的金额只相当于 100(1+p)k\\frac{100}{(1+p)^k}(1+p)k100​ 元的初始金额，且这$12$个月共偿还初始金额$1000$元，求出 $p=0.029229$。

解题思路

首先重新理解一下题意：

我们一共需要还款$n$元，每个月的还款金额$m$是固定的，分$k$个月还清，题目要求月利率$p$

于是有n=∑i=1km(1+p)kn=\\sum_{i=1}^{k}{\\frac{m}{(1+p)^k}}n=∑i=1k​(1+p)km​，直观的理解就是虽然我们每月还款金额固定，但所占初始金额的比重越来越小

根据这个计算公式，因为题目给出了$m,k$，对于任意的$p$，我们可以计算出相应$n$

如果计算出的$n$值更大，我们应该尝试把$p$上调；反之，把$p$下调

可以看出，二分搜索的算法与这一思路完全吻合

接下来实现代码

题目给出了$p$的搜索区间$[0,5]$，停止二分的条件就是精度达到要求，即把答案区间长度收缩到小于10−610^{-6}10−6

double bin_search() {double l = 0.0, r = max_p, m;while (r - l > 1e-6) {m = (l + r) / 2;if (judge(m)) l = m;else r = m;}return l;
}

关于judge函数的实现，之前已经说过，这里直接展示代码

bool judge(double p) {double down = 1 + p;double sum = 0.0;for (int i = 0; i < k; i++) {sum += m / down;down *= 1 + p;}return sum - n > 0;
}

最后，AC代码如下

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
using namespace std;
const int max_n = 1e6;
const int max_m = 1e6;
const int max_k = 300;
const int max_p = 5;int n, m, k;bool judge(double p) {double down = 1 + p;double sum = 0.0;for (int i = 0; i < k; i++) {sum += m / down;down *= 1 + p;}return sum - n > 0;
}double bin_search() {double l = 0.0, r = max_p, m;while (r - l > 1e-6) {m = (l + r) / 2;if (judge(m)) l = m;else r = m;}return l;
}int main() {cin >> n >> m >> k;cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(6) << bin_search() << endl;return 0;
}