UPA的阵列响应向量（暂不考虑双极化天线）

下图形象描述了UPA阵列的接收信号

UPA阵列的水平(Horizontal)方向的天线间距为dHd_HdH​，垂直(Vertical)方向的天线间距为dVd_VdV​，图中BA是点A处的阵元接收到的信号方向，我们需要衡量水平、垂直两个方向的路径差。

（1）水平方向的路径差
考虑三角形OAB，我们从图中可以看出三个点的坐标分别为：(0,0,0),(dH,0,0),(rcos⁡ϕsin⁡θ+dH,rcos⁡ϕcos⁡θ,rsin⁡ϕ)(0,0,0),(d_H,0,0),(r \\cos \\phi \\sin \\theta + d_H, r \\cos \\phi \\cos \\theta, r \\sin \\phi)(0,0,0),(dH​,0,0),(rcosϕsinθ+dH​,rcosϕcosθ,rsinϕ)，可以进一步计算该三角形三条边的长度
OA=dHOB=∣(rcos⁡ϕsin⁡θ+dH,rcos⁡ϕcos⁡θ,rsin⁡ϕ)∣AB=r\\begin{aligned} OA &= d_H \\\\ OB &= \\left | (r \\cos \\phi \\sin \\theta + d_H, r \\cos \\phi \\cos \\theta, r \\sin \\phi) \\right| \\\\ AB &= r \\end{aligned} OAOBAB​=dH​=∣(rcosϕsinθ+dH​,rcosϕcosθ,rsinϕ)∣=r​

根据三角余弦定理，我们可以得到
cos⁡∠OAB=∣AB∣2+∣OA∣2−∣OB∣22∣AB∣⋅∣OA∣=r2+dH2−(r2+dH2+2dHrcos⁡ϕsin⁡θ)2rdH=cos⁡ϕsin⁡θ\\begin{aligned} \\cos {\\angle {OAB}} &= \\frac { |AB|^2 + |OA|^2 - |OB|^2 }{2 |AB| \\cdot |OA|} \\\\ &= \\frac{ r^2 + d^2_H - (r^2 + d^2_H+ 2 d_H r \\cos \\phi \\sin \\theta) } {2 r d_H} \\\\ &= \\cos \\phi \\sin \\theta \\end{aligned} cos∠OAB​=2∣AB∣⋅∣OA∣∣AB∣2+∣OA∣2−∣OB∣2​=2rdH​r2+dH2​−(r2+dH2​+2dH​rcosϕsinθ)​=cosϕsinθ​

因此水平方向的路径差为：
ΔH=dHcos⁡∠OAB=dHcos⁡ϕsin⁡θ\\Delta_H = d_H \\cos {\\angle {OAB}} = d_H \\cos \\phi \\sin \\theta ΔH​=dH​cos∠OAB=dH​cosϕsinθ

（2）垂直方向的路径差
不难看出，垂直方向的路径差为
ΔV=dVsin⁡ϕ\\Delta_V= d_V \\sin \\phi ΔV​=dV​sinϕ

因此阵列响应向量对应的延时（相位）部分可以表征为：
Ψ(u−1)NH+v(ϕ,θ)=2πλ[(u−1)dVsin⁡ϕ+(v−1)dHcos⁡ϕsin⁡θ]\\Psi_{(u-1)N_H+v}(\\phi, \\theta) = \\frac{2 \\pi}{\\lambda} \\left [ (u-1) d_V \\sin \\phi + (v-1)d_H \\cos \\phi \\sin \\theta \\right] Ψ(u−1)NH​+v​(ϕ,θ)=λ2π​[(u−1)dV​sinϕ+(v−1)dH​cosϕsinθ]

其中1≤u≤NV,1≤v≤NH1 \\leq u \\leq N_V, 1 \\leq v \\leq N_H1≤u≤NV​,1≤v≤NH​。

为了与论文[1]的符号对齐，这里我们令
cos⁡θ1=sin⁡ϕsin⁡θ2=sin⁡θ\\begin{aligned} \\cos \\theta_1 &= \\sin \\phi \\\\ \\sin \\theta_2&= \\sin \\theta \\end{aligned} cosθ1​sinθ2​​=sinϕ=sinθ​

令θ=(θ1,θ2)T\\boldsymbol \\theta = (\\theta_1, \\theta_2)^Tθ=(θ1​,θ2​)T，这时UPA阵列响应向量中含相位的项为
ejΨ(θ):=[ejΨ1(θ),ejΨ2(θ),⋯,ejΨNVNH(θ)]T∈CNVNH×1e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} := \\left [ e^{j \\Psi_1(\\boldsymbol \\theta)}, e^{j \\Psi_2(\\boldsymbol \\theta)}, \\cdots, e^{j \\Psi_{N_V N_H}(\\boldsymbol \\theta)} \\right]^T \\in \\mathbb C^{N_V N_H \\times 1} ejΨ(θ):=[ejΨ1​(θ),ejΨ2​(θ),⋯,ejΨNV​NH​​(θ)]T∈CNV​NH​×1

其中：
Ψ(u−1)NH+v(θ)=2πλ[(u−1)dVcos⁡θ1+(v−1)dHsin⁡θ1sin⁡θ2],1≤u≤NV,1≤v≤NH\\Psi_{(u-1)N_H+v}(\\boldsymbol \\theta) = \\frac{2 \\pi}{\\lambda} \\left [ (u-1) d_V \\cos \\theta_1 + (v-1)d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2 \\right], \\ \\ 1 \\leq u \\leq N_V, 1 \\leq v \\leq N_H Ψ(u−1)NH​+v​(θ)=λ2π​[(u−1)dV​cosθ1​+(v−1)dH​sinθ1​sinθ2​],  1≤u≤NV​,1≤v≤NH​

更进一步，UPA阵列响应向量为（包含水平方向和垂直方向）：
aV(θ)=aV(θ)ejΨ(θ)∈CNVNH×1aH(θ)=aH(θ)ejΨ(θ)∈CNVNH×1\\begin{aligned} \\boldsymbol a_V (\\boldsymbol \\theta) &= a_V(\\boldsymbol \\theta) e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} \\in \\mathbb C^{N_V N_H \\times 1} \\\\ \\boldsymbol a_H (\\boldsymbol \\theta) &= a_H(\\boldsymbol \\theta) e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} \\in \\mathbb C^{N_V N_H \\times 1} \\\\ \\end{aligned} aV​(θ)aH​(θ)​=aV​(θ)ejΨ(θ)∈CNV​NH​×1=aH​(θ)ejΨ(θ)∈CNV​NH​×1​

其中aV(θ),aH(θ)∈Ra_V(\\boldsymbol \\theta),a_H(\\boldsymbol \\theta) \\in \\mathbb RaV​(θ),aH​(θ)∈R表示天线本身的field pattern（对应幅度的概念）。

UPA阵列响应：从单极化天线到双极化天线

注意到，上一章节所推演的阵列响应响应为单极化UPA阵列。对于双极化UPA，其阵列响应向量定义为
aV(θ)=[aV,1(θ)aV,2(θ)]⊗ejΨ(θ)∈C2NVNH×1aH(θ)=[aH,1(θ)aH,2(θ)]⊗ejΨ(θ)∈C2NVNH×1\\begin{aligned} \\boldsymbol a_V (\\boldsymbol \\theta) &= \\left[ \\begin{array}{c} a_{V,1}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right)\\\\ a_{V,2}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right)\\\\ \\end{array} \\right] \\otimes e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} \\in \\mathbb C^{2 N_V N_H \\times 1} \\\\ \\boldsymbol a_H (\\boldsymbol \\theta) &= \\left[ \\begin{array}{c} a_{H,1}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right)\\\\ a_{H,2}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right)\\\\ \\end{array} \\right] \\otimes e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} \\in \\mathbb C^{2 N_V N_H \\times 1} \\end{aligned} aV​(θ)aH​(θ)​=[aV,1​(θ)aV,2​(θ)​]⊗ejΨ(θ)∈C2NV​NH​×1=[aH,1​(θ)aH,2​(θ)​]⊗ejΨ(θ)∈C2NV​NH​×1​

其中aV,1,aV,2∈Ra_{V,1},a_{V,2} \\in \\mathbb RaV,1​,aV,2​∈R分别表示垂直方向上，$+45°$和$-45°$极化天线的field pattern，为天线固有的值，不受环境影响。

UPA双极化天线的协方差矩阵结构

双极化UPA阵列的协方差矩阵为
R=∫ΩρV(θ)aV(θ)aVH(θ)dθ+∫ΩρH(θ)aH(θ)aHH(θ)dθ∈C2NVNH×2NVNH\\boldsymbol R= \\int_{\\Omega} \\rho_V(\\boldsymbol \\theta) \\boldsymbol a_V(\\boldsymbol \\theta) \\boldsymbol a_V^H(\\boldsymbol \\theta) d \\boldsymbol \\theta + \\int_{\\Omega} \\rho_H(\\boldsymbol \\theta) \\boldsymbol a_H(\\boldsymbol \\theta) \\boldsymbol a_H^H(\\boldsymbol \\theta) d \\boldsymbol \\theta \\in \\mathbb C^{2 N_V N_H \\times 2 N_V N_H} R=∫Ω​ρV​(θ)aV​(θ)aVH​(θ)dθ+∫Ω​ρH​(θ)aH​(θ)aHH​(θ)dθ∈C2NV​NH​×2NV​NH​

不失一般性，这里我们只关注aV(θ)aVH(θ)\\boldsymbol a_V(\\boldsymbol \\theta) \\boldsymbol a_V^H(\\boldsymbol \\theta)aV​(θ)aVH​(θ)
aV(θ)aVH(θ)=([aV,1(θ)aV,2(θ)]⊗ejΨ(θ))([aV,1(θ)aV,2(θ)]⊗ejΨ(θ))H=([aV,1(θ)aV,2(θ)]⊗ejΨ(θ))([aV,1(θ)aV,2(θ)]T⊗(ejΨ(θ))H)=[aV,12(θ)aV,1(θ)aV,2(θ)aV,2(θ)aV,1(θ)aV,22(θ)]⊗(ejΨ(θ)(ejΨ(θ))H)\\begin{aligned} \\boldsymbol a_V(\\boldsymbol \\theta) \\boldsymbol a_V^H(\\boldsymbol \\theta) &= \\left ( \\left[ \\begin{array}{c} a_{V,1}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right)\\\\ a_{V,2}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right)\\\\ \\end{array} \\right] \\otimes e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} \\right) \\left ( \\left[ \\begin{array}{c} a_{V,1}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right)\\\\ a_{V,2}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right)\\\\ \\end{array} \\right] \\otimes e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} \\right)^H \\\\ &=\\left ( \\left[ \\begin{array}{c} a_{V,1}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right)\\\\ a_{V,2}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right)\\\\ \\end{array} \\right] \\otimes e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} \\right) \\left ( \\left[ \\begin{array}{c} a_{V,1}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right)\\\\ a_{V,2}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right)\\\\ \\end{array} \\right]^T \\otimes \\left( e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} \\right )^H \\right) \\\\ &= \\left[ \\begin{matrix} a_{V,1}^{2}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right)& a_{V,1}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right) a_{V,2}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right)\\\\ a_{V,2}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right) a_{V,1}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right)& a_{V,2}^{2}\\left( \\boldsymbol{\\theta } \\right)\\\\ \\end{matrix} \\right] \\otimes \\left ( e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} \\left( e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} \\right )^H \\right) \\end{aligned} aV​(θ)aVH​(θ)​=([aV,1​(θ)aV,2​(θ)​]⊗ejΨ(θ))([aV,1​(θ)aV,2​(θ)​]⊗ejΨ(θ))H=([aV,1​(θ)aV,2​(θ)​]⊗ejΨ(θ))([aV,1​(θ)aV,2​(θ)​]T⊗(ejΨ(θ))H)=[aV,12​(θ)aV,2​(θ)aV,1​(θ)​aV,1​(θ)aV,2​(θ)aV,22​(θ)​]⊗(ejΨ(θ)(ejΨ(θ))H)​

我们不难看出，协方差矩阵R∈C2NVNH×2NVNH\\boldsymbol R \\in \\mathbb C^{2 N_V N_H \\times 2 N_V N_H}R∈C2NV​NH​×2NV​NH​，具有特定的块结构，可写为
R=[B1B2HB2B3]∈C2NVNH×2NVNH\\boldsymbol R = \\left[ \\begin{matrix} \\boldsymbol{B}_1& \\boldsymbol{B}_{2}^{H}\\\\ \\boldsymbol{B}_2& \\boldsymbol{B}_3\\\\ \\end{matrix} \\right] \\in \\mathbb C^{2 N_V N_H \\times 2 N_V N_H} R=[B1​B2​​B2H​B3​​]∈C2NV​NH​×2NV​NH​

其中B1,B2,B3∈CNVNH×NVNH\\boldsymbol{B}_1,\\boldsymbol{B}_2,\\boldsymbol{B}_3 \\in \\mathbb C^{ N_V N_H \\times N_V N_H}B1​,B2​,B3​∈CNV​NH​×NV​NH​具有相同的结构性质，且不难看出，该性质取决于ejΨ(θ)(ejΨ(θ))H∈CNVNH×NVNHe^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} \\left( e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} \\right )^H \\in \\mathbb C^{ N_V N_H \\times N_V N_H}ejΨ(θ)(ejΨ(θ))H∈CNV​NH​×NV​NH​。回顾ejΨ(θ)e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)}ejΨ(θ)的表达式：
ejΨ(θ)=[ejΨ1(θ),ejΨ2(θ),⋯,ejΨNVNH(θ)]TΨ(u−1)NH+v(θ)=2πλ[(u−1)dVcos⁡θ1+(v−1)dHsin⁡θ1sin⁡θ2]\\begin{aligned} e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} &= \\left [ e^{j \\Psi_1(\\boldsymbol \\theta)}, e^{j \\Psi_2(\\boldsymbol \\theta)}, \\cdots, e^{j \\Psi_{N_V N_H}(\\boldsymbol \\theta)} \\right]^T \\\\ \\Psi_{(u-1)N_H+v}(\\boldsymbol \\theta) &= \\frac{2 \\pi}{\\lambda} \\left [ (u-1) d_V \\cos \\theta_1 + (v-1)d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2 \\right] \\end{aligned} ejΨ(θ)Ψ(u−1)NH​+v​(θ)​=[ejΨ1​(θ),ejΨ2​(θ),⋯,ejΨNV​NH​​(θ)]T=λ2π​[(u−1)dV​cosθ1​+(v−1)dH​sinθ1​sinθ2​]​

我们不妨先固定u0∈{1,⋯,NV}u_0 \\in \\{1,\\cdots,N_V\\}u0​∈{1,⋯,NV​}，取子向量(ejΨk(θ):k=(u0−1)NH+v,v=1,⋯,NH)∈CNH×1\\left (e^{j \\Psi_k(\\boldsymbol \\theta)}: k=(u_0-1)N_H+v, v=1,\\cdots,N_H \\right) \\in \\mathbb C^{N_H \\times 1}(ejΨk​(θ):k=(u0​−1)NH​+v,v=1,⋯,NH​)∈CNH​×1，令
∣u0⟩=(ejΨk(θ):k=(u0−1)NH+v,v=1,⋯,NH)∈CNH×1|u_0 \\rangle = \\left (e^{j \\Psi_k(\\boldsymbol \\theta)}: k=(u_0-1)N_H+v, v=1,\\cdots,N_H \\right) \\in \\mathbb C^{N_H \\times 1} ∣u0​⟩=(ejΨk​(θ):k=(u0​−1)NH​+v,v=1,⋯,NH​)∈CNH​×1

（这里存在一定程度的符号滥用，但为了方便叙述，我们选择采用量子力学中常用的狄拉克符号），则ejΨ(θ)(ejΨ(θ))H∈CNVNH×NVNHe^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} \\left( e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} \\right )^H \\in \\mathbb C^{ N_V N_H \\times N_V N_H}ejΨ(θ)(ejΨ(θ))H∈CNV​NH​×NV​NH​可以写为
ejΨ(θ)(ejΨ(θ))H=[∣1⟩⟨1∣∣1⟩⟨2∣∣1⟩⟨3∣⋯∣1⟩⟨NV∣∣2⟩⟨1∣∣2⟩⟨2∣∣2⟩⟨3∣⋯⋮∣3⟩⟨1∣∣3⟩⟨2∣∣3⟩⟨3∣⋯∣NV−1⟩⟨NV∣⋮⋮⋮⋱∣NV−1⟩⟨NV∣∣NV⟩⟨1∣⋯∣NV⟩⟨NV−2∣∣NV⟩⟨NV−1∣∣NV⟩⟨NV∣]e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} \\left( e^{j \\boldsymbol \\Psi(\\boldsymbol \\theta)} \\right )^H=\\left[ \\begin{matrix}{} |1\\rangle \\langle 1|& |1\\rangle \\langle 2|& |1\\rangle \\langle 3|& \\cdots& |1\\rangle \\langle N_V|\\\\ |2\\rangle \\langle 1|& |2\\rangle \\langle 2|& |2\\rangle \\langle 3|& \\cdots& \\vdots\\\\ |3\\rangle \\langle 1|& |3\\rangle \\langle 2|& |3\\rangle \\langle 3|& \\cdots& |N_V-1\\rangle \\langle N_V|\\\\ \\vdots& \\vdots& \\vdots& \\ddots& |N_V-1\\rangle \\langle N_V|\\\\ |N_V\\rangle \\langle 1|& \\cdots& |N_V\\rangle \\langle N_V-2|& |N_V\\rangle \\langle N_V-1|& |N_V\\rangle \\langle N_V|\\\\ \\end{matrix} \\right] ejΨ(θ)(ejΨ(θ))H=​∣1⟩⟨1∣∣2⟩⟨1∣∣3⟩⟨1∣⋮∣NV​⟩⟨1∣​∣1⟩⟨2∣∣2⟩⟨2∣∣3⟩⟨2∣⋮⋯​∣1⟩⟨3∣∣2⟩⟨3∣∣3⟩⟨3∣⋮∣NV​⟩⟨NV​−2∣​⋯⋯⋯⋱∣NV​⟩⟨NV​−1∣​∣1⟩⟨NV​∣⋮∣NV​−1⟩⟨NV​∣∣NV​−1⟩⟨NV​∣∣NV​⟩⟨NV​∣​​

首先，我们不难发现
$$|i⟩⟨j|=|i+d⟩⟨j+d|,\forall d$$

因此，我们只需要关注∣1⟩⟨1∣,∣2⟩⟨1∣,⋯,∣NV⟩⟨1∣|1\\rangle \\langle 1|, |2\\rangle \\langle 1|, \\cdots, |N_V\\rangle \\langle 1|∣1⟩⟨1∣,∣2⟩⟨1∣,⋯,∣NV​⟩⟨1∣即可

当u0=1u_0=1u0​=1时
∣1⟩⟨1∣=[1ej2πλdHsin⁡θ1sin⁡θ2ej2πλ2dHsin⁡θ1sin⁡θ2⋮ej2πλ(NH−1)dHsin⁡θ1sin⁡θ2][1ej2πλdHsin⁡θ1sin⁡θ2ej2πλ2dHsin⁡θ1sin⁡θ2⋮ej2πλ(NH−1)dHsin⁡θ1sin⁡θ2]H|1\\rangle \\langle 1| = \\left[ \\begin{array}{l} 1\\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2}\\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}2d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2} \\\\ \\vdots \\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}(N_H-1)d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2}\\\\ \\end{array} \\right] \\left[ \\begin{array}{l} 1\\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2}\\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}2d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2} \\\\ \\vdots \\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}(N_H-1)d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2}\\\\ \\end{array} \\right]^H ∣1⟩⟨1∣=​1ejλ2π​dH​sinθ1​sinθ2​ejλ2π​2dH​sinθ1​sinθ2​⋮ejλ2π​(NH​−1)dH​sinθ1​sinθ2​​​​1ejλ2π​dH​sinθ1​sinθ2​ejλ2π​2dH​sinθ1​sinθ2​⋮ejλ2π​(NH​−1)dH​sinθ1​sinθ2​​​H

不难发现，上述写法直接对应到ULA阵，因此对应部分的块矩阵满足Toplitz性。

当u0>1u_0 > 1u0​>1时
∣u0⟩⟨1∣=(ej2πλ(u0−1)dVcos⁡θ1[1ej2πλdHsin⁡θ1sin⁡θ2ej2πλ2dHsin⁡θ1sin⁡θ2⋮ej2πλ(NH−1)dHsin⁡θ1sin⁡θ2])[1ej2πλdHsin⁡θ1sin⁡θ2ej2πλ2dHsin⁡θ1sin⁡θ2⋮ej2πλ(NH−1)dHsin⁡θ1sin⁡θ2]H=ej2πλ(u0−1)dVcos⁡θ1[1ej2πλdHsin⁡θ1sin⁡θ2ej2πλ2dHsin⁡θ1sin⁡θ2⋮ej2πλ(NH−1)dHsin⁡θ1sin⁡θ2][1ej2πλdHsin⁡θ1sin⁡θ2ej2πλ2dHsin⁡θ1sin⁡θ2⋮ej2πλ(NH−1)dHsin⁡θ1sin⁡θ2]H\\begin{aligned} |u_0 \\rangle \\langle 1| &=\\left ( e^{j \\frac{2\\pi}{\\lambda}(u_0-1)d_V \\cos \\theta_1} \\left[ \\begin{array}{l} 1\\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2}\\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}2d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2} \\\\ \\vdots \\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}(N_H-1)d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2}\\\\ \\end{array} \\right] \\right ) \\left[ \\begin{array}{l} 1\\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2}\\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}2d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2} \\\\ \\vdots \\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}(N_H-1)d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2}\\\\ \\end{array} \\right]^H \\\\ &= e^{j \\frac{2\\pi}{\\lambda}(u_0-1)d_V \\cos \\theta_1 } \\left[ \\begin{array}{l} 1\\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2}\\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}2d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2} \\\\ \\vdots \\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}(N_H-1)d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2}\\\\ \\end{array} \\right] \\left[ \\begin{array}{l} 1\\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2}\\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}2d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2} \\\\ \\vdots \\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}(N_H-1)d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2}\\\\ \\end{array} \\right]^H \\end{aligned} ∣u0​⟩⟨1∣​=​ejλ2π​(u0​−1)dV​cosθ1​​1ejλ2π​dH​sinθ1​sinθ2​ejλ2π​2dH​sinθ1​sinθ2​⋮ejλ2π​(NH​−1)dH​sinθ1​sinθ2​​​​​1ejλ2π​dH​sinθ1​sinθ2​ejλ2π​2dH​sinθ1​sinθ2​⋮ejλ2π​(NH​−1)dH​sinθ1​sinθ2​​​H=ejλ2π​(u0​−1)dV​cosθ1​​1ejλ2π​dH​sinθ1​sinθ2​ejλ2π​2dH​sinθ1​sinθ2​⋮ejλ2π​(NH​−1)dH​sinθ1​sinθ2​​​​1ejλ2π​dH​sinθ1​sinθ2​ejλ2π​2dH​sinθ1​sinθ2​⋮ejλ2π​(NH​−1)dH​sinθ1​sinθ2​​​H​

注意到，无论是$|1⟩⟨1|$还是∣u0⟩⟨1∣,u0>1|u_0 \\rangle \\langle 1|,u_0 > 1∣u0​⟩⟨1∣,u0​>1，大家都有一个公共的Toeplitz结构，即
[1ej2πλdHsin⁡θ1sin⁡θ2ej2πλ2dHsin⁡θ1sin⁡θ2⋮ej2πλ(NH−1)dHsin⁡θ1sin⁡θ2][1ej2πλdHsin⁡θ1sin⁡θ2ej2πλ2dHsin⁡θ1sin⁡θ2⋮ej2πλ(NH−1)dHsin⁡θ1sin⁡θ2]H=[α1α2∗⋯αNH∗α2α1⋱⋮⋮⋱⋱α2∗αNH⋯α2α1]∈CNH×NH\\left[ \\begin{array}{l} 1\\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2}\\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}2d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2} \\\\ \\vdots \\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}(N_H-1)d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2}\\\\ \\end{array} \\right] \\left[ \\begin{array}{l} 1\\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2}\\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}2d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2} \\\\ \\vdots \\\\ e^{j\\frac{2\\pi}{\\lambda}(N_H-1)d_H \\sin \\theta_1 \\sin \\theta_2}\\\\ \\end{array} \\right]^H = \\left[ \\begin{matrix} \\alpha _1& \\alpha _{2}^{*}& \\cdots& \\alpha _{N_H}^{*}\\\\ \\alpha _2& \\alpha _1& \\ddots& \\vdots\\\\ \\vdots& \\ddots& \\ddots& \\alpha _{2}^{*}\\\\ \\alpha _{N_H}& \\cdots& \\alpha _2& \\alpha _1\\\\ \\end{matrix} \\right] \\in \\mathbb C^{N_H \\times N_H} ​1ejλ2π​dH​sinθ1​sinθ2​ejλ2π​2dH​sinθ1​sinθ2​⋮ejλ2π​(NH​−1)dH​sinθ1​sinθ2​​​​1ejλ2π​dH​sinθ1​sinθ2​ejλ2π​2dH​sinθ1​sinθ2​⋮ejλ2π​(NH​−1)dH​sinθ1​sinθ2​​​H=​α1​α2​⋮αNH​​​α2∗​α1​⋱⋯​⋯⋱⋱α2​​αNH​∗​⋮α2∗​α1​​​∈CNH​×NH​