【python】用scipy生成特殊矩阵

scipy.linalg中提供了一系列特殊矩阵的生成方法，包括循环矩阵、汉克尔矩阵、费德勒矩阵、阿达马矩阵、莱斯利矩阵、希尔伯特及其逆矩阵、帕斯卡及其逆矩阵等。

循环矩阵

现有一向量c=[c0,c1,⋯,cn]c=[c_0, c_1,\\cdots,c_n]c=[c0​,c1​,⋯,cn​]，则circulant(c)返回一个矩阵，记作$A$，矩阵第$i$行第$j$列元素为aija_{ij}aij​，则aij=cmod⁡(i−j,n)a_{ij} = c_{\\operatorname{mod}(i-j, n)}aij​=cmod(i−j,n)​

A = circulant([1,2,3])
print(A)
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[[1 3 2][2 1 3][3 2 1]]
'''

汉克尔矩阵

汉克尔矩阵和循环矩阵十分相似，不过在向左移位的过程中，hankel(c, r=None)在末尾直接赋0。若r不为None，则通过r对末位进行赋值

print(hankel([1,2,3,4], [0,7,7,8,9]))
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[[1 2 3 4 7][2 3 4 7 7][3 4 7 7 8][4 7 7 8 9]]
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费德勒矩阵

现有一向量a=[a0,a1,⋯,an]a=[a_0, a_1,\\cdots,a_n]a=[a0​,a1​,⋯,an​]，则fiedler(a)返回一个矩阵，记作$F$，设$F$第$i$行第$j$列元素为fijf_{ij}fij​，则fij=∣ai−aj∣f_{ij}=\\vert a_i-a_j\\vertfij​=∣ai​−aj​∣，所以显而易见，其对角元素均为0。

F = fiedler([1,2,4,8,16])
print(F)
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[[ 0  1  3  7 15][ 1  0  2  6 14][ 3  2  0  4 12][ 7  6  4  0  8][15 14 12  8  0]]
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阿达马矩阵

阿达马矩阵的每个元素都是$\pm 1$，每行都互相正交，常用于纠错码。在scipy.linalg中，hadamard(n, dtype)根据n来生成标准的$n\times n$阿达马矩阵，需要注意$n$必须为偶数，dtype为可选参数，用于指明矩阵的数据类型。

print(hadamard(4))
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[[ 1  1  1  1][ 1 -1  1 -1][ 1  1 -1 -1][ 1 -1 -1  1]]
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莱斯利矩阵

leslie(f, s)，其输入$f$和$s$两个向量，输出矩阵的形式为

[f1f2⋯fm−1fms10⋯000s2⋯00⋮⋮⋮⋮00⋯sm−10]\\begin{bmatrix} f_1&f_2&\\cdots&f_{m-1}&f_m\\\\ s_1&0&\\cdots&0&0\\\\ 0&s_2&\\cdots&0&0\\\\ \\vdots&\\vdots&&\\vdots&\\vdots\\\\ 0&0&\\cdots&s_{m-1}&0 \\end{bmatrix} ​f1​s1​0⋮0​f2​0s2​⋮0​⋯⋯⋯⋯​fm−1​00⋮sm−1​​fm​00⋮0​​

print(leslie([0.1, 2.0, 1.0, 0.1], [0.2, 0.8, 0.7]))
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[[0.1 2.  1.  0.1][0.2 0.  0.  0. ][0.  0.8 0.  0. ][0.  0.  0.7 0. ]]
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希尔伯特及其逆矩阵

则hilbert(n)返回一个$n\times n$矩阵$H$，第$i$行第$j$列元素hij=1i+j+1h_{ij}=\\frac{1}{i+j+1}hij​=i+j+11​。

print(hilbert(3))
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[[1.         0.5        0.33333333][0.5        0.33333333 0.25      ][0.33333333 0.25       0.2       ]]
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invhilbert(n, exact=False)可生成$n\times n$希尔伯特矩阵的逆矩阵，当exact为False时，返回np.float64类型矩阵；否则返回np.int64类型。

帕斯卡及其逆矩阵

帕斯卡矩阵存在一个递推关系，即aij=ai−1,j+ai,j−1a_{ij}=a_{i-1,j}+a{i,j-1}aij​=ai−1,j​+ai,j−1，且ai0=1，a0j=1a_{i0}=1，a_{0j}=1ai0​=1，a0j​=1，从形状上看就是倒过来的帕斯卡三角。在pascal(n, kind, exact)函数中，kind可选symmetric, lower,upper，分别表示对称矩阵、下三角、上三角矩阵，默认symmetric。

print(pascal(4))
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[[ 1  1  1  1][ 1  2  3  4][ 1  3  6 10][ 1  4 10 20]]
'''

invpascal可生成逆帕斯卡矩阵，其参数与pascal相同。

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