差分方程
Z变换
脉冲传递函数
计算机控制系统的响应

差分方程

基础知识

几种不同的差分：

前向差分和后向差分没有本质区别，在控制系统中一般用后向差分。

在连续系统中，用微分方程来描述系统的运动。而在离散系统，则使用差分方程：

差分方程是确定时间序列的方程，因为可以通过递推迭代的方法，用前项求后项：

离散系统的差分方程标准形式：(注意各系数的下标)

差分方程的解

解分为通解和特解。通解是与方程初始状态有关的解。特解是与外部输入有关的解。

解的求法：

求解特征方程，得到特征根：

1. n个单根r1,r2,r3,⋯,rnr_1, r_2, r_3, \\cdots, r_nr1​,r2​,r3​,⋯,rn​，则通解
   y(k)=c1r1k+c2r2k+⋯+cnrnky(k)=c_1 r_1^k+ c_2r_2^k+\\cdots+c_nr_n^ky(k)=c1​r1k​+c2​r2k​+⋯+cn​rnk​
2. 解$r$为$m$重根，其他为单根r1,r2,r3,⋯,rnr_1, r_2, r_3, \\cdots, r_nr1​,r2​,r3​,⋯,rn​，则通解：
   y(k)=c11rk+c12krk+⋯+c1mkm−1rk+c1r1k+c2r2k+⋯+cnrnky(k)=c_{11} r^k+ c_{12}kr^k+\\cdots+c_{1m}k^{m-1}r^k+c_1 r_1^k+c_2r_2^k+\\cdots+c_nr_n^ky(k)=c11​rk+c12​krk+⋯+c1m​km−1rk+c1​r1k​+c2​r2k​+⋯+cn​rnk​

其中各系数根据初始条件来求：

对于后向差分，步骤类似：

Z变换

定义与性质

注意：

1. 先采样，然后才有Z变换。多个不同的$f(t)$，如果采样后f∗(t)f^*(t)f∗(t)相同，则Z变换相同
2. z−1z^{-1}z−1代表信号滞后一个采样周期，可以称为单位延迟因子
3. 书写时T可以省略，写作F(z)=∑k=0∞f(k)z−kF(z)=\\sum_{k=0}^{\\infty}f(k)z^{-k}F(z)=∑k=0∞​f(k)z−k

性质：
这里只涉及一部分常用的性质。

1. 线性性质
   $Z[af(kT)+bg(kT)]=aF(z)+bG(z)$
2. 实位移定理
   • 右位移：Z[f(kT−nT)]=z−nF(z)Z[f(kT-nT)]=z^{-n}F(z)Z[f(kT−nT)]=z−nF(z)
   • 左位移：Z[f(kT+nT)]=zn[F(z)−∑k=0∞f(kT)z−k]Z[f(kT+nT)]=z^n[F(z)-\\sum_{k=0}^\\infty f(kT)z^{-k}]Z[f(kT+nT)]=zn[F(z)−∑k=0∞​f(kT)z−k]
     • n=1: $Z[f(kT+T)]=z[F(z)-f(0)]$
     • n=2: Z[f(kT+2T)]=z2[F(z)−f(0)−f(T)z−1]Z[f(kT+2T)]=z^2[F(z)-f(0)-f(T)z^{-1}]Z[f(kT+2T)]=z2[F(z)−f(0)−f(T)z−1]
3. 复位移定理
   Z[e∓atf(kT)]=F(ze±aT)Z[e^{\\mp at}f(kT)]=F(ze^{\\pm aT})Z[e∓atf(kT)]=F(ze±aT)
4. 初值定理
   如果极限lim⁡z→∞F(z)\\displaystyle\\lim_{z \\to \\infty} F(z)z→∞lim​F(z)存在，则有f(0)=lim⁡z→∞F(z)\\displaystyle f(0)=\\lim _{z\\to\\infty} F(z)f(0)=z→∞lim​F(z)
5. 终值定理
   设系统稳定，则lim⁡k→∞f(kT)=lim⁡z→1(1−z−1)F(z)=lim⁡z→1(z−1)F(z)\\displaystyle \\lim_{k\\to \\infty}f(kT)=\\lim_{z\\to1}(1-z^{-1})F(z)=\\lim _{z\\to 1}(z-1)F(z)k→∞lim​f(kT)=z→1lim​(1−z−1)F(z)=z→1lim​(z−1)F(z)

求Z变换

1. 级数求和法
   即用定义硬算。
   
   注意级数求和要附加收敛条件。

2. 部分分式展开法
   即先分解，然后查表，再通过线性性质得出Z变换
   

Z变换表

求Z反变换

1. 长除法（幂级数展开法）
   简单易行，但因为难以找出规律，所以一般只用来计算前几项。
   步骤：分式除法，得到z的降幂序列。利用实位移性质写出对应的f(t)
   
   写成$f(kT)$序列形式和f∗(t)f^*(t)f∗(t)时域函数形式都可以。注意省略号不要丢了。

2. 部分分式展开法
   先分解，后查表。
   
   两个注意的地方：
   1.先除z，再进行计算。
   2.注意k的取值范围，选取原则是e−akTe^{-akT}e−akT是滞后的而不是超前的（非正幂）

3. 留数计算法
   f(kT)=∑i=1nRes[F(z)zk−1]z→pi\\displaystyle f(kT)=\\sum_{i=1}^n \\text{Res} [F(z)z^{k-1}]_{z\\to p_i}f(kT)=i=1∑n​Res[F(z)zk−1]z→pi​​
   
   即$F(z)$的z反变换等于[F(z)zk−1][F(z)z^{k-1}][F(z)zk−1]在各个极点处留数之和。
   例题：
   

用Z变换解差分方程

这个和用Laplace变换解微分方程是同样的思路。

脉冲传递函数

零初始条件下，线性定常系统，输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比，称为该系统的脉冲传递函数，或称Z传递函数
G(z)=C(z)R(z)\\displaystyle G(z)=\\frac{C(z)}{R(z)}G(z)=R(z)C(z)​

注意：

• 先采样才有Z变换。因此要求输入、输出信号都为采样后信号。输出允许没有采样开关，但列写传递函数时必须设置虚拟采样开关，才能求出Z变换
• 传递函数与输入信号无关，但与采样周期有关

脉冲传递函数的求法：

1. 求系统脉冲响应，即为$G(s)$，求出：g(t)=L−1[G(s)]g(t)=\\mathscr{L}^{-1}[G(s)]g(t)=L−1[G(s)]
2. 采样：g∗(t)=∑k=0∞g(kT)δ(t−kT)g^*(t)=\\sum_{k=0}^{\\infty}g(kT)\\delta(t-kT)g∗(t)=∑k=0∞​g(kT)δ(t−kT)
3. Z变换：G(z)=Z[g∗(t)]=∑k=0∞g(kT)z−kG(z)=Z[g^*(t)]=\\sum_{k=0}^{\\infty}g(kT)z^{-k}G(z)=Z[g∗(t)]=∑k=0∞​g(kT)z−k

脉冲传递函数与差分方程的相互转化

开环脉冲传递函数

闭环脉冲传递函数

1. 采样开关在误差通道：
   
2. 一般情况
   很多情况下，因为R没有采样，被合并到其他地方先串连再Z变换，变成RG的形式，无法写出C/R的函数，所以改为写输出的函数。
   
   这里注意，开环传函的列写，从某个采样开关开始，按照回路依次列写，直到回到这个采样开关。不必从R开始。

计算机控制系统的响应

其实本质就是Z反变换

这里得到的输出的采样值。

如果想要得到输出值，可以采取如下的方法：
Y(s)=G(s)E∗(s)=G(s)R∗(s)1+GF∗(s)y(t)=L−1[Y(s)]\\begin{aligned} Y(s)=&G(s)E^*(s)\\\\ =&G(s)\\frac{R^*(s)}{1+GF^*(s)}\\\\ y(t)=& \\mathscr{L}^{-1}[Y(s)] \\end{aligned}Y(s)==y(t)=​G(s)E∗(s)G(s)1+GF∗(s)R∗(s)​L−1[Y(s)]​