一、本文先简单地介绍一下Green 函数，

第一部分内容来自于文献
[0]BI-GreenNet: Learning Green’s Functions by Boundary Integral Network
[1] Evans, L.C.: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence, R.I. (2010)
[2]Learning Elliptic Partial Differential Equations with Randomized Linear Algebra

Interior problem(内点问题)

Exterior problem(外点问题)

此处$\mathcal{L}$ 是微分算子。为了方便，将方程(2.1)和(2.2)总结为：

格林函数

本文中, 我们关注泊松方程和亥姆霍兹方程, i.e.,$\mathcal{L}=-\Delta$ or L=−Δ−k2\\mathcal{L}=-\\Delta-k^2L=−Δ−k2 , 此处$k$是波数。

根据文献[1]，我们可以使用如下的格林函数 G:Ω×Ω⟶R+∪{∞}G:\\Omega\\times \\Omega\\longrightarrow\\mathbb{R}^{+}\\cup\\{\\infty\\}G:Ω×Ω⟶R+∪{∞}, 得到方程 (2.3)的解析解

此处，$G(x,y)$ 是一个二维函数，满足

当 $g=0$时，那么

$(f,u)$是个输入输出对，$f$为源。

Seeking G, as opposed to L, has several theoretical benefits[2]:

第二部分内容来自：Learning Green’s functions associated with time-dependent partial differential equations


第三部分内容来自文献: MOD-Net: A Machine Learning Approach via Model-Operator-Data Network for Solving PDEs

第四部分内容来自文献:Neural Green’s function for Laplacian systems