线性组合与线性相关

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线性组合与线性相关

同学们大家好，今天我们来学习线性组合与线性相关

给定向量组 $\\mathcal{A}=\\{\\boldsymbol{a_1},\\boldsymbol{a_2},...,\\boldsymbol{a_m}\\}$ 和向量 $\\boldsymbol{b_{}}$ ，如果存在一组实数 $k_1,k_2,...,k_m$ ，使：

$\\boldsymbol{b_{}}=k_1\\boldsymbol{a_1}+k_2\\boldsymbol{a_2}+...+k_m\\boldsymbol{a_m}$

则称向量 $\\boldsymbol{b_{}}$ 能由向量组 $\\mathcal{A}$ 线性表示，或称向量 $\\boldsymbol{b_{}}$ 是向量组 $\\mathcal{A}$ 的线性组合。

给定向量组 $\\mathcal{A}=\\{\\boldsymbol{a_1},\\boldsymbol{a_2},...,\\boldsymbol{a_m}\\}$ ，如果存在不全为零的实数 $k_1,k_2,...,k_m$ ，使：

$k_1\\boldsymbol{a_1}+k_2\\boldsymbol{a_2}+...+k_m\\boldsymbol{a_m}=\\boldsymbol{0}$

则称向量组 $\\mathcal{A}$ 是线性相关的，否则称它为线性无关。

定义简洁、准确，但并不形象,因此，我们并不打算从定义开始讲。而会采用大家都熟悉的颜色混合，为此，首先科普一下人眼是怎么感知色彩的。

1 色彩感知

首先给出人眼构造的图片

观察上图的右侧会发现人眼大致有三种感光细胞,分别感光红色、绿色、和蓝色。如果通过特定光线，单独“激活”这三种感光细胞，我们分别就会看到红、绿、蓝。

如果光线可以“混合”激活这三种感光细胞，就好像用调色板调色一样,这样就能看到这世界的五颜六色。

下面，我们就来看看颜色混合和线性组合有什么关系。

2 向量化

第一步就是将颜色混合这个过程，用向量运算表示出来。首先还是给出红、绿、蓝三种颜色，并将它们混合。

混合后可以看到，出现了一些新的颜色,比如最中间的这个白色，它就是由红、绿、蓝混合而成。也就是说

如果将红色用向量 $\\boldsymbol{R}=(255,0,0)$ 表示,绿色用向量 $\\boldsymbol{G}=(0,255,0)$ 表示，蓝色用向量 $\\boldsymbol{B}=(0,0,255)$ 表示，这样上面这个式子就可以表示为

通过向量加法可知,白色的向量值为 $(255,255,255)$

这里多说一句,把颜色用向量表示，这种做法被大量的应用于作图软件中，比如从下面这张某应用的截图中，可以看到，白色就是 $(255,255,255)$ 。

完成了向量化后,下面我们就来讲解为什么怎么用线性组合来表述颜色混合。

3 线性组合

给定向量组 $\\mathcal{A}=\\{\\boldsymbol{a_1},\\boldsymbol{a_2},...,\\boldsymbol{a_m}\\}$ 和向量 $\\boldsymbol{b_{}}$ ，如果存在一组实数 $k_1,k_2,...,k_m$ ，使：

$\\boldsymbol{b_{}}=k_1\\boldsymbol{a_1}+k_2\\boldsymbol{a_2}+...+k_m\\boldsymbol{a_m}$

则称向量 $\\boldsymbol{b_{}}$ 能由向量组 $\\mathcal{A}$ 线性表示，或称向量 $\\boldsymbol{b_{}}$ 是向量组 $\\mathcal{A}$ 的线性组合。

从定义中，我们可以看出,若

$\\boldsymbol{b_{}}=k_1\\boldsymbol{a_1}+k_2\\boldsymbol{a_2}+...+k_m\\boldsymbol{a_m}$

那么就称 $\\boldsymbol{b}$ 是向量组 $\\mathcal{A}=\\{\\boldsymbol{a_1},\\boldsymbol{a_2},...,\\boldsymbol{a_m}\\}$ 的线性组合。回到前面颜色混合的例子，显然红、绿、蓝与白色是定义里的这个式子。

此时的 $k_1$ 就是 $1$ , $a_1$ 就是 $(255,0,0)$ , $k_2$ 就是 $1$ , $a_2$ 就是 $(0,255,0)$ , $k_3$ 还是 $1$ , $a_3$ 就是 $(0,0,255)$

这样我们就看出,白色是红、绿、蓝的线性组合

4 线性相关

解释了什么是线性组合，下面来看看什么是线性相关。

给定向量组 $\\mathcal{A}=\\{\\boldsymbol{a_1},\\boldsymbol{a_2},...,\\boldsymbol{a_m}\\}$ ，如果存在不全为零的实数 $k_1,k_2,...,k_m$ ，使：

$k_1\\boldsymbol{a_1}+k_2\\boldsymbol{a_2}+...+k_m\\boldsymbol{a_m}=\\boldsymbol{0}$

则称向量组 $\\mathcal{A}$ 是线性相关的，否则称它为线性无关。

与线性组合相同，还是需要满足一个式子,不同的是，线性相关的定义中要求系数不全为零。下面还是用前面颜色混合的例子,对此定义进行讲解。