边缘检测与阈值分割

Canny

[1] Canny Edge Detection. https://docs.opencv.org/3.4/da/d22/tutorial_py_canny.html
[2] OpenCV Edge Detection ( cv2.Canny ). https://pyimagesearch.com/2021/05/12/opencv-edge-detection-cv2-canny/

由John F. Canny提出
1、由于边缘检测容易受噪声影响，采用Gaussian空间滤波器去噪
2、采用Sobel核求图像水平与垂直方向的导数Gx,GyG_x, G_yGx​,Gy​
x:[−101−202−101],y:[−1−2−1000121]x: \\begin{bmatrix} -1&0&1 \\\\ -2&0&2 \\\\ -1&0&1 \\end{bmatrix}, y: \\begin{bmatrix} -1&-2&-1 \\\\ 0&0&0 \\\\ 1&2&1 \\end{bmatrix}x:​−1−2−1​000​121​​,y:​−101​−202​−101​​
3、计算边缘的梯度$(G,\theta )$
幅值 G=Gx2+Gy2G = \\sqrt{G_x^2 + G_y^2}G=Gx2​+Gy2​​
方向 θ=tan−1(Gy/Gx)\\theta =tan^{-1}(G_y/G_x)θ=tan−1(Gy​/Gx​)
注：梯度是一个向量，包含导数值以及求导方向；二维函数上的一点有多个求导方向，求出的导数值也各不相同，梯度的幅值即最大的导数值（方向导数）。
4、非局部极大值抑制
图像上每一点都一个梯度值与梯度方向
通过插值，求解该点梯度方向上的前后两点的梯度值
对比该点的梯度值与求出的前后两点梯度值，如果该点是极大值，则保留，否则置0
遍历所有点，便求出图像边缘上的所有点
5、滞后阈值法
高于大阈值的为边缘上的点
小于小阈值的不是边缘上的点
位于两个阈值中间的，判断其与已确定的边缘是否连通，如果是，则其也是边缘上的点，否则，不是边缘上的点

注：认为梯度方向与边缘垂直

反锐化掩膜与锐化掩膜

[1] 【图像锐化】非锐化掩模 USM（Unsharpen Mask）与锐化掩模 SM（Sharpen Mask. http://t.csdn.cn/54TvN.

提取图像高频信息，将其与图像叠加进行边缘增强

H: high pass filter
L: low pass filter
锐化掩膜 I1=I0+w∗H(I0)I_1 = I_0 + w*H(I_0)I1​=I0​+w∗H(I0​)
反锐化掩膜 I1=I0+(I0−w∗L(I0))/(1−w)I_1 = I_0 + (I_0 - w*L(I_0))/(1-w)I1​=I0​+(I0​−w∗L(I0​))/(1−w)
注：$\ast$表示卷积

LoG，DoG

[1] 图像特征之LoG算子与DoG算子. https://senitco.github.io/2017/06/20/image-feature-LoG-DoG/.

将Laplace算子作用于图像：∇2I=Ixx+Iyy\\nabla^2 I = I_{xx} + I_{yy}∇2I=Ixx​+Iyy​
作用：突出图像点，线和边缘，抑制均匀和平滑变化的区域

由于微分运算对噪声敏感，先将图像进行高斯平滑滤波，再应用Laplace算子
LoG：∇2(G∗I)=(∇2G)∗I\\nabla^2 (G*I) = (\\nabla^2 G) * I∇2(G∗I)=(∇2G)∗I

由于Gxx+Gyy=kGσG_{xx} + G_{yy} = k G_\\sigmaGxx​+Gyy​=kGσ​，因此可以用DoG代替LoG
DoG：G(σ1)∗I−G(σ2)∗I=(G(σ1)−G(σ2))∗IG(\\sigma_1)*I - G(\\sigma_2)*I = (G(\\sigma_1) - G(\\sigma_2))*IG(σ1​)∗I−G(σ2​)∗I=(G(σ1​)−G(σ2​))∗I

OSTU算法

[1] Ostu（大津法）二值化图像算法/最佳全局阈值. http://t.csdn.cn/pVHqD.
[2] 吴 熙, 钱盛友. 基于LoG 算子的图像边缘增强算法的改进.

灰度图像IijI_{ij}Iij​的均值与方差
均值 μ=1MNΣiIij\\mu = \\frac{1}{MN} \\Sigma_i I_{ij}μ=MN1​Σi​Iij​
方差 σ2=1MNΣiΣj(Iij−μ)2\\sigma^2 = \\frac{1}{MN} \\Sigma_i \\Sigma_j (I_{ij} - \\mu)^2σ2=MN1​Σi​Σj​(Iij​−μ)2
注：图像的均值就是期望

灰度图像由像素值$T$可分为前景与背景 I=I1+I2I = I_1 + I_2I=I1​+I2​
类间方差 σB2=c1σ2(I1)+c2σ2(I2)\\sigma^2_B = c_1 \\sigma^2(I_1) + c_2 \\sigma^2(I_2)σB2​=c1​σ2(I1​)+c2​σ2(I2​)
类内方差 σW2=c1(μ(I1)−μ(I))2+c2(μ(I2)−μ(I))2\\sigma^2_W = c_1 (\\mu(I_1) - \\mu(I))^2 + c_2 (\\mu(I_2) - \\mu(I))^2σW2​=c1​(μ(I1​)−μ(I))2+c2​(μ(I2​)−μ(I))2
其中，c1=N(I1)/N(I),c2=N(I2)/N(I)c_1 = N(I_1)/N(I), c_2 = N(I_2)/N(I)c1​=N(I1​)/N(I),c2​=N(I2​)/N(I)，$N$为像素计数函数
σ2=σB2+σW2\\sigma^2 = \\sigma^2_B + \\sigma^2_Wσ2=σB2​+σW2​

OSTU算法
遍历图像灰度直方图的所有像素作为$T$，取使得类间方差最大与类内方差最小的$T$作为最终划分图像的像素值
T=argmax(σB2(T))T = argmax(\\sigma^2_B(T))T=argmax(σB2​(T))
T=argmin(σW2(T))T = argmin(\\sigma^2_W(T))T=argmin(σW2​(T))
文献[2]采用的是：
T=argmax(σB2(T)/σW2(T))T = argmax(\\sigma^2_B(T)/\\sigma^2_W(T))T=argmax(σB2​(T)/σW2​(T))