060201面积-定积分在几何学上的应用-定积分的应用

1 平面图形的面积

1.1 直角坐标情形

①平面图形由$y=f(x),y=0,x=a,y=b$围成图像的面积，如下图1.1-1所示：

s=∫abf(x)dxs=\\int_a^bf(x)dxs=∫ab​f(x)dx s=∫ab∣f(x)∣dxs=\\int_a^b|f(x)|dxs=∫ab​∣f(x)∣dx s=∫ab∣f(x)∣dxs=\\int_a^b|f(x)|dxs=∫ab​∣f(x)∣dx

综上面积s=∫ab∣f(x)∣dxs=\\int_a^b|f(x)|dxs=∫ab​∣f(x)∣dx

②平面图形由$y=f(x),y=g(x),x=a,x=b$所围成图像的面积，如下图1.1-2所示：

​ s=∫ab[f(x)−g(x)]dxs=\\int_a^b[f(x)-g(x)]dxs=∫ab​[f(x)−g(x)]dx s=∫ab∣f(x)−g(x)∣dxs=\\int_a^b|f(x)-g(x)|dxs=∫ab​∣f(x)−g(x)∣dx s=∫ab∣f(x)−g(x)∣dxs=\\int_a^b|f(x)-g(x)|dxs=∫ab​∣f(x)−g(x)∣dx

综上面积s=∫ab∣f(x)−g(x)∣dxs=\\int_a^b|f(x)-g(x)|dxs=∫ab​∣f(x)−g(x)∣dx

③平面图形由$x=f(y),x=0,y=a,y=b$围成图形面积，如下图1.1-3所示：

面积s=∫ab∣f(y)∣dys=\\int_a^b|f(y)|dys=∫ab​∣f(y)∣dy

④平面图形由$x=f(y),x=g(y),y=a,y=b$所围成图像面积，如下图1.1-4所示：

面积s=∫ab∣f(y)−g(y)∣dys=\\int_a^b|f(y)-g(y)|dys=∫ab​∣f(y)−g(y)∣dy

例1 求区间[12,2][\\frac{1}{2},2][21​,2]上连续曲线y=ln⁡x,x轴及直线x=12,x=2y=\\ln x,x轴及直线x=\\frac{1}{2},x=2y=lnx,x轴及直线x=21​,x=2所围图像的面积，如下图1-1所示：

解：dS=ln⁡xdx,x∈[12,2]S=∫122dS=∫122ln⁡xdx=−∫121lnxdx+∫12ln⁡xdx=−(xln⁡x−x)∣121+(xln⁡x−x)12=32ln⁡2−12解：dS=\\ln xdx,x\\in[\\frac{1}{2},2]\\\\ S=\\int_\\frac{1}{2}^2dS=\\int_\\frac{1}{2}^2\\ln xdx=-\\int_\\frac{1}{2}^1ln xdx+\\int_1^2\\ln xdx\\\\ =-(x\\ln x-x)|_\\frac{1}{2}^1+(x\\ln x-x)_1^2=\\frac{3}{2}\\ln2-\\frac{1}{2} 解：dS=lnxdx,x∈[21​,2]S=∫21​2​dS=∫21​2​lnxdx=−∫21​1​lnxdx+∫12​lnxdx=−(xlnx−x)∣21​1​+(xlnx−x)12​=23​ln2−21​
例2 求y2=x,y=x2y^2=x,y=x^2y2=x,y=x2所围图像的面积，如下图2-1所示：

解：解方程组{y2=xy=x2，交点为(0,0),(1,1)取x为积分变量，积分区间[0,1]S=∫01(x−x2)dx=23x32∣01−13x3∣01=13解：解方程组 \\begin{cases} y^2=x\\\\ y=x^2\\\\ \\end{cases}，交点为(0,0),(1,1)\\\\ 取x为积分变量，积分区间[0,1]\\\\ S=\\int_0^1(\\sqrt{x}-x^2)dx=\\frac{2}{3}x^\\frac{3}{2}|_0^1-\\frac{1}{3}x^3|_0^1=\\frac{1}{3} 解：解方程组{y2=xy=x2​，交点为(0,0),(1,1)取x为积分变量，积分区间[0,1]S=∫01​(x​−x2)dx=32​x23​∣01​−31​x3∣01​=31​
例3 求y2−2x,y=x0−4y^2-2x,y=x0-4y2−2x,y=x0−4围成图像的面积，如下图3-1所示：

解：方程组{y=x−4,y2=2x交点为(2,−2),(8,4)取y为积分变量，则S=∫−24(y+4−y22)dy=(12y2+4y−16y3)∣−24=18解：方程组 \\begin{cases} y=x-4,\\\\ y^2=2x \\end{cases} 交点为(2,-2),(8,4)\\\\ 取y为积分变量，则\\\\ S=\\int_{-2}^4(y+4-\\frac{y^2}{2})dy=(\\frac{1}{2}y^2+4y-\\frac{1}{6}y^3)|_{-2}^4\\\\ =18 解：方程组{y=x−4,y2=2x​交点为(2,−2),(8,4)取y为积分变量，则S=∫−24​(y+4−2y2​)dy=(21​y2+4y−61​y3)∣−24​=18

例4 求由曲线y=x2,y=x24及y=1y=x^2,y=\\frac{x^2}{4}及y=1y=x2,y=4x2​及y=1所围成图像的面积，如下图4-1所示：

解：由上图知，所围图像左右对称取y为积分变量，则S=2∫01(2y−y)=43y32∣01=43解：由上图知，所围图像左右对称\\\\ 取y为积分变量，则\\\\ S=2\\int_0^1(2\\sqrt{y}-\\sqrt{y})=\\frac{4}{3}y^\\frac{3}{2}|_0^1=\\frac{4}{3} 解：由上图知，所围图像左右对称取y为积分变量，则S=2∫01​(2y​−y​)=34​y23​∣01​=34​

例5 求椭圆x2a2+y2b2=1\\frac{x^2}{a^2}+\\frac{y^2}{b^2}=1a2x2​+b2y2​=1的面积，如下图5-1所示：

解：{x=acos⁡t,y=bsin⁡tS=4∫0aydx=4∫π20sin⁡td(acos⁡t)=4ab∫0π2sin⁡2tdt=4ab⋅12⋅π2=πab解：\\begin{cases} x=a\\cos t,\\\\ y=b\\sin t \\end{cases}\\\\ S=4\\int_0^aydx=4\\int_\\frac{\\pi}{2}^0\\sin td(a\\cos t)=4ab\\int_0^\\frac{\\pi}{2}\\sin^2tdt\\\\ =4ab\\cdot\\frac{1}{2}\\cdot\\frac{\\pi}{2}=\\pi ab 解：{x=acost,y=bsint​S=4∫0a​ydx=4∫2π​0​sintd(acost)=4ab∫02π​​sin2tdt=4ab⋅21​⋅2π​=πab

1.2 极坐标情形

1.2.1 极坐标的定义

为了表示平面上的点，在平面上取定一点$o$,称为极点。取定一条轴$ox$，称为极轴。这样在平面上建了一个坐标系，称为极坐标系。

如上图1.2.1-1所示，平面上任意一点p，设KaTeX parse error: Undefined control sequence: \\ang at position 11: |op|=\\rho,\\̲a̲n̲g̲ ̲xop=\\theta,则数对$(\rho ,\theta )$为点p的极坐标。

极坐标与平面坐标变换公式：（原点重合）
{x=ρcos⁡θ,y=ρsin⁡θ{ρ=x2+y2,θ=arctan⁡yx\\begin{cases} x=\\rho \\cos\\theta,\\\\ y=\\rho\\sin\\theta \\end{cases}\\\\ \\qquad \\begin{cases} \\rho=\\sqrt{x^2+y^2},\\\\ \\theta=\\arctan\\frac{y}{x} \\end{cases}\\\\ {x=ρcosθ,y=ρsinθ​{ρ=x2+y2​,θ=arctanxy​​
注：规定$(-\rho ,\theta )=(\rho ,\theta +\pi )$

1.1.2 曲边扇形的面积

①曲边扇形：由$\rho =\rho (\theta ),\theta =\alpha ,\theta =\beta$围成的面积
ds=πρ2(θ)⋅dθ2π=12ρ2(θ)dθS=∫αβds=12∫αβρ2(θ)dθds=\\pi\\rho^2(\\theta)\\cdot\\frac{d\\theta}{2\\pi}=\\frac{1}{2}\\rho^2(\\theta)d\\theta\\\\ S=\\int_\\alpha^\\beta ds=\\frac{1}{2}\\int_\\alpha^\\beta\\rho^2(\\theta)d\\theta ds=πρ2(θ)⋅2πdθ​=21​ρ2(θ)dθS=∫αβ​ds=21​∫αβ​ρ2(θ)dθ
②极点在曲线$\rho =\rho (\theta )内部$，所围成图像米面积

​ S=12∫02πρ2(θ)dθS=\\frac{1}{2}\\int_0^{2\\pi}\\rho^2(\\theta)d\\thetaS=21​∫02π​ρ2(θ)dθ

③曲边扇形由ρ=rho1(θ),ρ=ρ2(θ),θ=α,θ=β\\rho=rho_1(\\theta),\\rho=\\rho_2(\\theta),\\theta=\\alpha,\\theta=\\betaρ=rho1​(θ),ρ=ρ2​(θ),θ=α,θ=β所围图形，如下图1.1.2-1所示：

S=12∫αβ∣ρ12(θ)−ρ22(θ)∣dθS=\\frac{1}{2}\\int_\\alpha^\\beta|\\rho_1^2(\\theta)-\\rho_2^2(\\theta)|d\\theta S=21​∫αβ​∣ρ12​(θ)−ρ22​(θ)∣dθ
例1 计算阿基米德螺线$\rho =a\theta (a>0)相应于\theta 从0到2\pi$的弧段与极轴围成图像的面积，如下图1-1所示：

解：S=12∫02πρ2(θ)dθ=a22∫02πθ2dθ=4a23π3解：S=\\frac{1}{2}\\int_0^{2\\pi}\\rho^2(\\theta)d\\theta=\\frac{a^2}{2}\\int_0^{2\\pi}\\theta^2d\\theta\\\\ =\\frac{4a^2}{3}\\pi^3 解：S=21​∫02π​ρ2(θ)dθ=2a2​∫02π​θ2dθ=34a2​π3
例2 计算心形线$\rho =a(1+\cos \theta )(a>0)$所围成的图像的面积，如下图2-1所示：

解：图形关于极轴对称,积分变量θ,区间[0,2π],则S=12∫02πρ2(θ)dθ=a22∫02π(1+cos⁡θ)2dθ=a22∫02π(1+2cos⁡θ+cos⁡2θ)dθ=πa2+0+2a2∫0π2cos⁡2θdθ=3a22π解：图形关于极轴对称,积分变量\\theta,区间[0,2\\pi],则\\\\ S=\\frac{1}{2}\\int_0^{2\\pi}\\rho^2(\\theta)d\\theta=\\frac{a^2}{2}\\int_0^{2\\pi}(1+\\cos\\theta)^2d\\theta\\\\ =\\frac{a^2}{2}\\int_0^{2\\pi}(1+2\\cos\\theta+\\cos^2\\theta)d\\theta\\\\ =\\pi a^2+0+2a^2\\int_0^\\frac{\\pi}{2}\\cos^2\\theta d\\theta=\\frac{3a^2}{2}\\pi 解：图形关于极轴对称,积分变量θ,区间[0,2π],则S=21​∫02π​ρ2(θ)dθ=2a2​∫02π​(1+cosθ)2dθ=2a2​∫02π​(1+2cosθ+cos2θ)dθ=πa2+0+2a2∫02π​​cos2θdθ=23a2​π
例3 求$\rho =2a\cos \theta (a>0)$围成图形的面积，如下图3-1所示：

解:积分变量θ,区间[0,2π],则S=12∫−π2π2ρ2(θ)dθ=4a2∫0π2cos⁡2θdθ=πa2解:积分变量\\theta,区间[0,2\\pi],则\\\\ S=\\frac{1}{2}\\int_{-\\frac{\\pi}{2}}^\\frac{\\pi}{2}\\rho^2(\\theta)d\\theta=4a^2\\int_0^\\frac{\\pi}{2}\\cos^2\\theta d\\theta\\\\ =\\pi a^2 解:积分变量θ,区间[0,2π],则S=21​∫−2π​2π​​ρ2(θ)dθ=4a2∫02π​​cos2θdθ=πa2

注意：

• 给出曲线，但不知道夹角范围，需要自己去化简。
• 熟悉数中附录三种常见曲线。

结语

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p276-286.

[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p39.