【泛函分析】存在有可列个间断点的单调函数
下面列举一个定义在 [0,1][0,1][0,1] 上的单调递增函数 fff, 它在 [0,1][0,1][0,1] 上具有可列个不连续点.
定义 f(x)=1f(x)=1f(x)=1, ∀x∈[0,12]\\forall x\\in [0, \\frac{1}{2}]∀x∈[0,21]
定义 f(x)=2f(x)=2f(x)=2, ∀x∈(12,23]\\forall x\\in (\\frac{1}{2}, \\frac{2}{3}]∀x∈(21,32]
…
定义 f(x)=kf(x)=kf(x)=k, ∀x∈(k−1k,kk+1]\\forall x\\in (\\frac{k-1}{k}, \\frac{k}{k+1}]∀x∈(kk−1,k+1k]
…
定义 f(x)=1f(x)=1f(x)=1, x=1x=1x=1
上面列举的函数是无界的, 若定义 f(x)=1−12kf(x)=1-\\frac{1}{2^{k}}f(x)=1−2k1, ∀x∈(k−1k,kk+1]\\forall x\\in (\\frac{k-1}{k}, \\frac{k}{k+1}]∀x∈(kk−1,k+1k], 则得到的 fff 是有界的.