在泛函分析中, 一个赋范空间的平衡集直观来讲是内部没有空洞的集合, 一个赋范空间中的吸收集直观来讲就是可以通过数乘运算进行缩放, 从而可以使得空间中每个元素都包含在某个经缩放后的集合内的集合. 具体定义如下:

符号注记

设 $X$ 是一个赋范空间, $\mathbb{K}$ 是其标量域, 集合 $S\subseteq X$, 标量 $\alpha \in \mathbb{K}$ 标量集 $B\subseteq \mathbb{K}$, 记 αS={αx∣x∈S}\\alpha S=\\{\\alpha x|x\\in S\\}αS={αx∣x∈S}, BS={αx∣α∈B,x∈S}BS=\\{\\alpha x|\\alpha \\in B, x\\in S\\}BS={αx∣α∈B,x∈S}. 记 B≤r={α∈K∣∣α∣≤r}B_{\\leq r}=\\{\\alpha \\in \\mathbb{K}||\\alpha|\\leq r\\}B≤r​={α∈K∣∣α∣≤r}, B<r={α∈K∣∣α∣<r}B_{\\lt r}=\\{\\alpha \\in \\mathbb{K}||\\alpha|\\lt r\\}B<r​={α∈K∣∣α∣<r}, 特别地, 记 B<0=∅B_{\\lt 0}=\\emptysetB<0​=∅, B<∞=B≤∞=KB_{\\lt \\infty} =B_{\\leq \\infty} = \\mathbb{K}B<∞​=B≤∞​=K.

平衡集

设 $X$ 是一个赋范空间, $\mathbb{K}$ 是其标量域, 若集合 $S\subseteq X$ 满足: B≤1S=SB_{\\leq 1}S = SB≤1​S=S 则称集合 $S$ 为 $X$ 中的一个平衡集.
显然, 对于平衡集 S1S_{1}S1​ 和 S2S_{2}S2​, B≤1(S1∩S2)=B≤1S1∩B≤1S2=S1∩S2B_{\\leq 1}(S_{1}\\cap S_{2})=B_{\\leq 1}S_{1}\\cap B_{\\leq 1}S_{2}=S_{1}\\cap S_{2}B≤1​(S1​∩S2​)=B≤1​S1​∩B≤1​S2​=S1​∩S2​, B≤1(S1∪S2)=B≤1S1∪B≤1S2=S1∪S2B_{\\leq 1}(S_{1}\\cup S_{2})=B_{\\leq 1}S_{1}\\cup B_{\\leq 1}S_{2}=S_{1}\\cup S_{2}B≤1​(S1​∪S2​)=B≤1​S1​∪B≤1​S2​=S1​∪S2​, 因此平衡集的交集, 并集都是平衡集.

等价条件:
(1) $\forall x\in S$ 满足: 对于 $\forall \alpha \in \mathbb{K},|\alpha |\le 1$ 有 $\alpha x\in S$, 即 B≤1x⊆SB_{\\leq 1}x\\subseteq SB≤1​x⊆S.
(2) $\forall x\in S$, $\mathbb{K}x\cap S$ 是一个平衡集.
证明: 充分性: 对于 $\forall x\in S$, $\mathbb{K}x\cap S$ 是平衡集, 根据 (1) 可知, 对于 $\forall \alpha \in \mathbb{K},|\alpha |\le 1$, $\alpha x\in \mathbb{K}x\cap S\subseteq S$, 再利用 (1) 可知, $S$ 是平衡集.
必要性: 易证 $\mathbb{K}x$ 是平衡集, 因此 $\mathbb{K}x\cap S$ 是平衡集.

若 $S$ 有界且 S⊃{0}S\\supset \\{0\\}S⊃{0}, 则$S$ 为平衡集的一个充要条件为:

(3) 对于 $\forall x\in S$, $x\ne 0$, $\exists$ M∈R+M\\in \\mathbb{R}^{+}M∈R+, $M\ge 1$, 使得 Br<Mx⊆SB_{r\\lt M} x \\subseteq SBr<M​x⊆S, Kx−Br≤Mx⊆SC\\mathbb{K}x-B_{r\\leq M} x \\subseteq S^{C}Kx−Br≤M​x⊆SC.
证明: 充分性: 显然 Kx∩S=Br<Mx\\mathbb{K}x\\cap S=B_{r\\lt M}xKx∩S=Br<M​x 或 Kx∩S=Br≤Mx\\mathbb{K}x\\cap S=B_{r\\leq M}xKx∩S=Br≤M​x, 易证这两个集合都是平衡集, 对于 $0\in S$, $\mathbb{K}0\cap S=0\cap S=0$, 显然也是平衡集, 因此由 (2) 可知 $S$ 是平衡集.
必要性: 由 (2) 可知, 对于 $\forall x\in S$, $x\ne 0$: 由于 $S$ 是平衡集, 所以根据 (1) 可知, 对于 $\forall k\in \mathbb{K}$, 若 $kx\in S$, 则B≤1kx=B≤∣k∣x⊆SB_{_{\\leq 1}}k x=B_{\\leq |k|}x\\subseteq SB≤1​​kx=B≤∣k∣​x⊆S. 记 M=sup⁡{∣k∣∣kx∈S}M = \\sup\\{|k||kx\\in S\\}M=sup{∣k∣∣kx∈S} (由于 $S$ 有界, 因此 $M<\infty$), 则对于 $\forall ϵ$, 存在 $k\in \mathbb{K}$, 使得 $|k|\ge M-ϵ$, $kx\in S$, 则 BM−ϵx⊆B≤∣k∣x⊆SB_{M-\\epsilon}x\\subseteq B_{\\leq |k|}x \\subseteq SBM−ϵ​x⊆B≤∣k∣​x⊆S. 因此 B<Mx⊆SB_{\\lt M}x\\subseteq SB<M​x⊆S, 对于 Kx−Br≤Mx=(K−Br≤M)x\\mathbb{K}x-B_{r\\leq M} x = (\\mathbb{K}-B_{r\\leq M})xKx−Br≤M​x=(K−Br≤M​)x, 若其中有元素 $y\in S$, 则 $y$ 必然可以表示为 $y=\alpha x$, $\alpha >M$, 进而与 $M$ 的定义矛盾.

若已知 $S$ 是凸集, 则$S$ 为平衡集的一个充要条件为:
(4) $\alpha S\subseteq S,|a|=1$.

平衡包

一个集合 $S$ 的平衡包是指包含这个集合的最小平衡集, 记为 $\mathrm{Bal}(S)$.
等价条件:
(1) $\mathrm{Bal}(S)$ 是所有包含 $S$ 的平衡集的交集.
证明: 对于 $S$ 的平衡集的交集, 因为平衡集的交集是平衡集, 因此必然是平衡集. 其显然也包含 $S$, 因此其必然是包含 $S$ 的平衡集. 它又包含于所有包含 $S$ 的平衡集, 因此必然是最小平衡集.
(2) Bal(S)=B≤1S\\mathrm{Bal}(S)=B_{\\leq 1}SBal(S)=B≤1​S.
证明: 显然 B≤1SB_{\\leq 1}SB≤1​S 是包含 $S$ 的平衡集, 对于任一包含 $S$ 的平衡集, B≤1SB_{\\leq 1}SB≤1​S 又显然是其子集, 因此 B≤1SB_{\\leq 1}SB≤1​S 包含于所有包含 $S$ 的平衡集的交集, 即 B≤1S⊆BalSB_{\\leq 1}S\\subseteq \\mathrm{Bal}SB≤1​S⊆BalS, 因此B≤1S=BalSB_{\\leq 1}S = \\mathrm{Bal}SB≤1​S=BalS.

未完待续…