什么是跳表?

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什么是跳表?

文章目录

- 文章目的
- 注意事项
- 1.什么是跳表-skiplist
- 2.skiplist的效率如何保证？
- - 2.1 一个节点的平均层数
- 3. skiplist的实现

文章目的

让你知道什么是跳表,梳理跳表
跳表的设计思路及实现

注意事项

下面有数学公式,需要数学功底,只要弄清楚用来干嘛就行
有兴趣的人可以了解详细的推导过程

1.什么是跳表-skiplist

skiplist本质上也是一种查找结构，用于解决算法中的查找问题，跟平衡搜索树和哈希表的价值是
一样的，可以作为key或者key/value的查找模型。那么相比而言它的优势是什么的呢？这么等我
们学习完它的细节实现，我们再来对比。
skiplist是由William Pugh发明的，最早出现于他在1990年发表的论文《Skip Lists: A
Probabilistic Alternative to Balanced Trees》。对细节感兴趣的同学可以下载论文原文来阅读。
skiplist，顾名思义，首先它是一个list。实际上，它是在有序链表的基础上发展起来的。如果是一
个有序的链表，查找数据的时间复杂度是O(N)。
William Pugh开始的优化思路:

1.假如我们每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图b所
示。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由
于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概
只有原来的一半。

以此类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一
个指针，从而产生第三层链表。如下图c，这样搜索效率就进一步提高了。
skiplist正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上，按照上面生成链表的方
式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似
二分查找，使得查找的时间复杂度可以降低到O(log n)。

什么是跳表? 模拟查找过程:

存在的问题:

但是这个结构在插入删除数据的时
候有很大的问题，插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格
的2:1的对应关系。
如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点（也包括新插入的节点）重新进行调整，这会让时间复杂度重新蜕化成O(n).

解决方法:

skiplist的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，这样就好处理多了。细节过程入下图:

什么是跳表?

2.skiplist的效率如何保证？

上面我们说到，skiplist插入一个节点时随机出一个层数，听起来怎么这么随意，如何保证搜索时的效率呢？

这里首先要细节分析的是这个随机层数是怎么来的。一般跳表会设计一个最大层数maxLevel的限制，其次会设置一个多增加一层的概率p。

那么计算这个随机层数的伪代码如下图:

|V|是一个变量

什么是跳表?

2.1 一个节点的平均层数

根据前面randomLevel()的伪码，我们很容易看出，产生越高的节点层数，概率越低。
定量的分析如下:

节点层数至少为1。而大于1的节点层数，满足一个概率分布。
节点层数恰好等于1的概率为1-p。
节点层数大于等于2的概率为p，而节点层数恰好等于2的概率为p(1-p)。
节点层数大于等于3的概率为p^2 ,而节点层数恰好等于3的概率为p^2*(1-p)。
节点层数大于等于4的概率为p^3, 而节点层数恰好等于4的概率为p^3*(1-p)。
…

因此，一个节点的平均层数（也即包含的平均指针数目），计算如下:

什么是跳表? 通过该公式可以算法实际的值:

当p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2；
当p=1/4时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33

公式的用途:

当层数越大那么搜索的效率也就越好,但是空间复杂度增大
节点出现的层数是均衡的,例如平均数为2,randomLevel函数计算出1,2,…,n,MaxLevel的层数.
节点会较为平均的出现1,2. 但是n往后的层数会出现的很少.
该公式可以计算出空间复杂度,例如平均每个结点的层数是2,那么每一层就需要一个指针来指向下一个结点, 层数越高指针越多,所以空间占用就越多了.
所以该公式是用来均衡时间复杂度和空间复杂度的.

在Redis的skiplist实现中，这两个参数的取值为:

p = 1/4
maxLevel = 32

跳表的平均时间复杂度为O(logN)，这个推导的过程较为复杂，需要有一定的数据功底，有兴趣的
老铁，可以参考以下文章中的讲解
铁蕾大佬的博客：http://zhangtielei.com/posts/blog-redis-skiplist.html
William_Pugh大佬的论文：ftp://ftp.cs.umd.edu/pub/skipLists/skiplists.pdf

3. skiplist的实现

leetcode1206. 设计跳表

设计结构体

a. SkiplistNode,使用vector可以很好的缩放大小
b. vecotr存放每一层指向下一个结点的指针

struct SkiplistNode
{int _val;vector<SkiplistNode*> _nextV;SkiplistNode(int val, int level):_val(val), _nextV(level, nullptr){}
};

a. 根链表一样,先设计节点,然后才能实现链表
b._maxLevel 为最大层数,默认为32
c. _p 为概率值


class Skiplist {typedef SkiplistNode Node;
private:Node* _head;size_t _maxLevel = 32;double _p = 0.5;
public:Skiplist() {srand(time(0));// 头节点，层数是1_head = new SkiplistNode(-1, 1);}
};

查找函数

a. bool search(int target) : 返回target是否存在于跳表中.

什么是跳表?

	bool search(int target) {Node* cur = _head;int level = _head->_nextV.size() - 1;while (level >= 0){// 目标值比下一个节点值要大，向右走// 下一个节点是空(尾)，目标值比下一个节点值要小，向下走if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < target){// 向右走cur = cur->_nextV[level];}else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val > target){// 向下走--level;}else{return true;}}return false;}

随机层数

c库实现:

	int RandomLevel(){size_t level = 1;// rand() ->[0, RAND_MAX]之间while (rand() <= RAND_MAX*_p && level < _maxLevel){++level;}return level;}

c++库实现:

	int RandomLevel(){static std::default_random_engine generator(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0, 1.0);size_t level = 1;while (distribution(generator) <= _p && level < _maxLevel){++level;}return level;}

4.插入节点

a. 首先找到一个合适的地方.

b. 找到插入节点这个位置的每一层前一个节点,使用有一个数组存储

什么是跳表?
c. 求出一个随机层数, 用它new一个插入节点

d. 链接前后节点

什么是跳表?

	vector<Node*> FindPrevNode(int num){Node* cur = _head;int level = _head->_nextV.size() - 1;// 插入位置每一层前一个节点指针vector<Node*> prevV(_head->_nextV.size(), _head);while (level >= 0){// 目标值比下一个节点值要大，向右走// 下一个节点是空(尾)，目标值比下一个节点值要小，向下走if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num){// 向右走cur = cur->_nextV[level];}else if (cur->_nextV[level] == nullptr|| cur->_nextV[level]->_val >= num){// 更新level层前一个prevV[level] = cur;// 向下走--level;}}return prevV;}void add(int num) {vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);int n = RandomLevel();Node* newnode = new Node(num, n);// 如果n超过当前最大的层数，那就升高一下_head的层数if (n > _head->_nextV.size()){_head->_nextV.resize(n, nullptr);prevV.resize(n, _head);}// 链接前后节点for (size_t i = 0; i < n; ++i){newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];prevV[i]->_nextV[i] = newnode;}}

删除节点

a. 根插入类似
b. 找到插入节点这个位置的每一层前一个节点,使用有一个数组存储.
c. 删除节点每一层前一个节点链接删除节点的下一个节点.

什么是跳表?

bool erase(int num) {vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);// 第一层下一个不是val，val不在表中if (prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num){return false;}else{Node* del = prevV[0]->_nextV[0];// del节点每一层的前后指针链接起来for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); i++){prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];}delete del;// 如果删除最高层节点，把头节点的层数也降一下(优化步骤,减少头节点的高度)int i = _head->_nextV.size() - 1;while (i >= 0){if (_head->_nextV[i] == nullptr)--i;elsebreak;}_head->_nextV.resize(i + 1);return true;}}

完整代码和测试用例

#include <iostream>
#include <vector>
#include <time.h>
#include <random>
#include <chrono>
using namespace std;struct SkiplistNode
{int _val;vector<SkiplistNode*> _nextV;SkiplistNode(int val, int level):_val(val), _nextV(level, nullptr){}
};class Skiplist {typedef SkiplistNode Node;
public:Skiplist() {srand(time(0));// 头节点，层数是1_head = new SkiplistNode(-1, 1);}bool search(int target) {Node* cur = _head;int level = _head->_nextV.size() - 1;while (level >= 0){// 目标值比下一个节点值要大，向右走// 下一个节点是空(尾)，目标值比下一个节点值要小，向下走if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < target){// 向右走cur = cur->_nextV[level];}else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val > target){// 向下走--level;}else{return true;}}return false;}vector<Node*> FindPrevNode(int num){Node* cur = _head;int level = _head->_nextV.size() - 1;// 插入位置每一层前一个节点指针vector<Node*> prevV(level + 1, _head);while (level >= 0){// 目标值比下一个节点值要大，向右走// 下一个节点是空(尾)，目标值比下一个节点值要小，向下走if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num){// 向右走cur = cur->_nextV[level];}else if (cur->_nextV[level] == nullptr|| cur->_nextV[level]->_val >= num){// 更新level层前一个prevV[level] = cur;// 向下走--level;}}return prevV;}void add(int num) {vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);int n = RandomLevel();Node* newnode = new Node(num, n);// 如果n超过当前最大的层数，那就升高一下_head的层数if (n > _head->_nextV.size()){_head->_nextV.resize(n, nullptr);prevV.resize(n, _head);}// 链接前后节点for (size_t i = 0; i < n; ++i){newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];prevV[i]->_nextV[i] = newnode;}}bool erase(int num) {vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);// 第一层下一个不是val，val不在表中if (prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num){return false;}else{Node* del = prevV[0]->_nextV[0];// del节点每一层的前后指针链接起来for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); i++){prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];}delete del;// 如果删除最高层节点，把头节点的层数也降一下int i = _head->_nextV.size() - 1;while (i >= 0){if (_head->_nextV[i] == nullptr)--i;elsebreak;}_head->_nextV.resize(i + 1);return true;}}//int RandomLevel()//{//	size_t level = 1;//	// rand() ->[0, RAND_MAX]之间//	while (rand() <= RAND_MAX*_p && level < _maxLevel)//	{//		++level;//	}//	return level;//}int RandomLevel(){static std::default_random_engine generator(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0, 1.0);size_t level = 1;while (distribution(generator) <= _p && level < _maxLevel){++level;}return level;}void Print(){/*int level = _head->_nextV.size();for (int i = level - 1; i >= 0; --i){Node* cur = _head;while (cur){printf("%d->", cur->_val);cur = cur->_nextV[i];}printf("\\n");}*/Node* cur = _head;while (cur){printf("%2d\\n", cur->_val);// 打印每个每个cur节点for (auto e : cur->_nextV){printf("%2s", "↓");}	printf("\\n");cur = cur->_nextV[0];}}private:Node* _head;size_t _maxLevel = 32;double _p = 0.5;
};/
* Your Skiplist object will be instantiated and called as such:
* Skiplist* obj = new Skiplist();
* bool param_1 = obj->search(target);
* obj->add(num);
* bool param_3 = obj->erase(num);
*///int main()
//{
//	Skiplist sl;
//	int max = 0;
//	for (size_t i = 0; i < 1000000000; ++i)
//	{
//		//cout << sl.RandomLevel() <<" ";
//		int r = sl.RandomLevel();
//		if (r > max)
//			max = r;
//	}
//	cout <<max<< endl;
//
//	return 0;
//}int main()
{Skiplist sl;//int a[] = { 5, 2, 3, 8, 9, 6, 5, 2, 3, 8, 9, 6, 5, 2, 3, 8, 9, 6 };int a[] = { 5, 2, 3, 8, 9, 6 };for (auto e : a){//sl.Print();//printf("--------------------------------------\\n");sl.add(e);}sl.Print();int x;cin >> x;sl.erase(x);return 0;
}//int main()
//{
//	unsigned seed = std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();
//	std::default_random_engine generator(seed);
//
//	std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0, 1.0);
//	size_t count = 0;
//	for (int i = 0; i < 100; ++i)
//	{
//		if (distribution(generator) <= 0.25)
//			++count;
//	}
//	cout << count << endl;
//
//	return 0;
//}

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