关于“sin(10°)是无理数”的一个证明

因为某些特殊原因，突然想起这个或许出现在当年PKU自主招生的问题，瞎想了一个做法，算是对时光不再与自己长大的感慨吧。

证明：
利用三倍角公式有sin⁡(30°)=sin⁡(20°)cos⁡(10°)+sin⁡(10°)cos⁡(20°)=2sin⁡(10°)[1−sin⁡2(10°)]+sin⁡(10°)[1−2sin⁡2(10°)]=12\\sin(30°)=\\sin(20°)\\cos(10°)+\\sin(10°)\\cos(20°)=2\\sin(10°)[1-\\sin^2(10°)]+\\sin(10°)[1-2\\sin^2(10°)]=\\frac 1 2sin(30°)=sin(20°)cos(10°)+sin(10°)cos(20°)=2sin(10°)[1−sin2(10°)]+sin(10°)[1−2sin2(10°)]=21​

记$\sin (10°)=x$，则有−4x3+3x+12=0-4x^3+3x+\\frac1 2 =0−4x3+3x+21​=0

考虑反证法，假定$\sin (10°)$是有理数，则有x=pq(>0)x=\\frac p q(>0)x=qp​(>0)，其中$p,q$为互质的正整数，将其代入上述方程中，并在方程两边同时乘以q3q^3q3：

−4p3+3pq2+q32=0-4p^3+3pq^2+\\cfrac {q^3}{2}=0−4p3+3pq2+2q3​=0

由于方程左边前两项均是整数且右边是0，所以q32\\cfrac {q^3}{2}2q3​一定是整数，也即$q$为偶数，故可设q=2q′q=2q'q=2q′，其中q′q'q′为正整数，将其代入方程并在两边同除以4：

−p3+3p(q′)2+(q′)3=0-p^3+3p(q')^2+(q')^3=0−p3+3p(q′)2+(q′)3=0

又因为$q$为偶数，$p,q$互质，所以$p$一定为奇数，进一步有−p3,3p-p^3,3p−p3,3p均为奇数。下面考虑对q′q'q′的奇偶进行分类讨论，若q′q'q′为奇数，则方程左边就是“奇数+奇数+奇数”的形式，显然不可能等于0；若q′q'q′为偶数，由于“奇数×偶数=偶数”，方程左边是“奇数+偶数+偶数”的形式，也不可能等于0，故假设不成立，$\sin (10°)$为无理数得证