版权声明

本文大部分内容皆来自武忠祥老师考研教材和视频课。

概念

• 定义：设函数$z=f(x,y)$在有界区域$D$上有定义，将区域$D$任意分成$n$个小区域Δσ1,Δσ2,...,Δσn\\Delta\\sigma_1,\\Delta\\sigma_2,...,\\Delta\\sigma_nΔσ1​,Δσ2​,...,Δσn​，其中Δσi\\Delta\\sigma_iΔσi​代表第$i$个小区域，也表示它的面积，在每个Δσi\\Delta\\sigma_iΔσi​上任取一点(ξi,ηi)(\\xi_i,\\eta_i)(ξi​,ηi​)，做乘积f(ξi,ηi)Δσif(\\xi_i,\\eta_i)\\Delta\\sigma_if(ξi​,ηi​)Δσi​，并求和∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\\sum_{i=1}^nf(\\xi_i,\\eta_i)\\Delta\\sigma_i∑i=1n​f(ξi​,ηi​)Δσi​，记$\lambda$为$n$个小区域Δσ1,Δσ2,...,Δσn\\Delta\\sigma_1,\\Delta\\sigma_2,...,\\Delta\\sigma_nΔσ1​,Δσ2​,...,Δσn​中最大直径，如果∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\\sum_{i=1}^nf(\\xi_i,\\eta_i)\\Delta\\sigma_i∑i=1n​f(ξi​,ηi​)Δσi​存在，则称$f(x,y)$在区域$D$上的二重积分，记为∬Df(x,y)dσ=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\\iint_Df(x,y)d\\sigma=\\lim\\limits_{\\lambda\\to 0}\\sum_{i=1}^nf(\\xi_i,\\eta_i)\\Delta\\sigma_i∬D​f(x,y)dσ=λ→0lim​∑i=1n​f(ξi​,ηi​)Δσi​。
• 几何意义：二重积分∬Df(x,y)dσ\\iint_Df(x,y)d\\sigma∬D​f(x,y)dσ是一个数，当$f(x,y)\ge 0$时，其值等于以区域$D$为底，以曲面$z=f(x,y)$为曲顶柱体的体积，当$f(x,y)\le 0$时，二重积分的值为负数，其绝对值等于上述曲顶柱体的体积。

性质

• 不等式性质：
  • 若在$D$上$f(x,y)\le g(x,y)$，则∬Df(x,y)dσ≤∬Dg(x,y)dσ\\iint_Df(x,y)d\\sigma≤\\iint_Dg(x,y)d\\sigma∬D​f(x,y)dσ≤∬D​g(x,y)dσ；
  • 若在$D$上$m\le f(x,y)\le M$，则mσ≤∬Df(x,y)dσ≤Mσm\\sigma≤\\iint_Df(x,y)d\\sigma≤M\\sigmamσ≤∬D​f(x,y)dσ≤Mσ（其中$\sigma$为区域$D$的面积）；
  • ∣∬Df(x,y)dσ∣≤∬D∣f(x,y)∣dσ|\\iint_Df(x,y)d\\sigma|≤\\iint_D|f(x,y)|d\\sigma∣∬D​f(x,y)dσ∣≤∬D​∣f(x,y)∣dσ。
• 中值定理：设函数$f(x,y)$在闭区域$D$上连续，$\sigma$为区域$D$的面积，则在$D$上至少存在一点$(\xi ,\eta )$，使得∬Df(x,y)dσ=f(ξ,η)σ\\iint_Df(x,y)d\\sigma=f(\\xi,\\eta)\\sigma∬D​f(x,y)dσ=f(ξ,η)σ。

计算

利用直角坐标计算

• 先$y$后$x$，积分区域$D$可以用$a\le x\le b$，φ1(x)≤y≤φ2(x)\\varphi_1(x)≤y≤\\varphi_2(x)φ1​(x)≤y≤φ2​(x)表示：∬Df(x,y)dσ=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy\\iint_Df(x,y)d\\sigma=\\int_a^bdx\\int_{\\varphi_1(x)}^{\\varphi_2(x)}f(x,y)dy∬D​f(x,y)dσ=∫ab​dx∫φ1​(x)φ2​(x)​f(x,y)dy
• 先$x$后$y$，积分区域$D$可以用$a\le y\le b$，φ1(y)≤x≤φ2(y)\\varphi_1(y)≤x≤\\varphi_2(y)φ1​(y)≤x≤φ2​(y)表示：∬Df(x,y)dσ=∫abdy∫φ1(y)φ2(y)f(x,y)dx\\iint_Df(x,y)d\\sigma=\\int_a^bdy\\int_{\\varphi_1(y)}^{\\varphi_2(y)}f(x,y)dx∬D​f(x,y)dσ=∫ab​dy∫φ1​(y)φ2​(y)​f(x,y)dx

利用极坐标计算

先$r$后$\theta$：积分区域$D$可以用$\alpha \le \theta \le \beta$，$\phi (\alpha )\le r\le \phi (\beta )$表示，∬Df(x,y)dσ=∫αβdθ∫φ(α)φ(β)f(rcosθ,rsinθ)rdr\\iint_Df(x,y)d\\sigma=\\int_\\alpha^\\beta d\\theta\\int_{\\varphi(\\alpha)}^{\\varphi(\\beta)}f(rcos\\theta,rsin\\theta)rdr∬D​f(x,y)dσ=∫αβ​dθ∫φ(α)φ(β)​f(rcosθ,rsinθ)rdr
适合使用极坐标计算的二重积分的特征：

• 适合使用极坐标计算的被积函数：f(x2+y2)f(yx),f(xy)f(\\sqrt{x^2+y^2})f(\\frac{}y{x}),f(\\frac{x}{y})f(x2+y2​)f(y​x),f(yx​)。
• 适合用极坐标的积分域：x2+y2≤R2,r2≤x2+y2≤R2，x2+y2≤2ax,x2+y2≤2byx^2+y^2≤R^2,r^2≤x^2+y^2≤R^2，x^2+y^2≤2ax,x^2+y^2≤2byx2+y2≤R2,r2≤x2+y2≤R2，x2+y2≤2ax,x2+y2≤2by。

利用函数的奇偶性计算

• 若积分区域$D$关于$y$轴对称，$f(x,y)$关于$x$轴有奇偶性，则∬Df(x,y)dσ={2∬Dx≥0f(x,y)dσ,f(x,y)关于x为偶函数0,f(x,y)关于x为奇函数\\iint_Df(x,y)d\\sigma=\\begin{cases}2\\iint_{D_x≥0}f(x,y)d\\sigma,f(x,y)关于x为偶函数\\\\0,f(x,y)关于x为奇函数\\end{cases}∬D​f(x,y)dσ={2∬Dx​≥0​f(x,y)dσ,f(x,y)关于x为偶函数0,f(x,y)关于x为奇函数​
• 若积分区域$D$关于$x$轴对称，$f(x,y)$关于$y$轴有奇偶性，则∬Df(x,y)dσ={2∬Dy≥0f(x,y)dσ,f(x,y)关于y为偶函数0,f(x,y)关于y为奇函数\\iint_Df(x,y)d\\sigma=\\begin{cases}2\\iint_{D_y≥0}f(x,y)d\\sigma,f(x,y)关于y为偶函数\\\\0,f(x,y)关于y为奇函数\\end{cases}∬D​f(x,y)dσ={2∬Dy​≥0​f(x,y)dσ,f(x,y)关于y为偶函数0,f(x,y)关于y为奇函数​

利用变量的轮换对称性计算

如果积分区域$D$具有轮换对称性，也就是关于直线$y=x$对称，即$D$的表达式中将$x$换作$y$，$y$换作$x$表达式不变，则∬Df(x,y)dσ=∬Df(y,x)dσ\\iint_Df(x,y)d\\sigma=\\iint_Df(y,x)d\\sigma∬D​f(x,y)dσ=∬D​f(y,x)dσ