数制与编码

进制间的转换

1. 二进制、八进制、十进制、十六进制之间的转换不用多说。常见的比如一直除以2拿到余数，再将余数排列起来（从下至上倒着写回去），即除基取余法，对应的还有一个乘积取整法。但是这两种办法比较慢，所以大家肯定还是会用2的多少次方去凑。

二进制、八进制、十进制、十六进制的后缀分别为B、O、D、H

2. 十进制与任意进制进制之间转换有个公式，等号左边是r进制，右边是十进制。

BCD码

BCD：Binary-Coded Decimal，用二进制编码的十进制。

(5 封私信) BCD码有什么用？ - 知乎 (zhihu.com)

典型的BCD码就是8421码

为什么没有十的映射？

BCD码的定义是二进制编码的十进制，十进制里最大就是9，所以映射到9结束。

8421码中1010-10010没有定义。即10-18,那就把这个二进制加6修正，就可以得到正确的数字。如在0000-1001内，就不用修正。

如6+7

0110

0111

————相加

1101，把这个结果加上6（0110）

0110

————相加

10011，将结果补全为八位00010011，四位一取，就是13，而6+7的结果正是13.

这就是计算机计算8421码的方法

除了8421码外，还有余3码和2421码等，每一位对应的权值都不相同。

其中余3码=8421码+0011，是一种无权码，每一位没有对应的权值。

2421码的每一位权值分别四2、4、2、1，表示0-4时最高位为0．表示5-9时最高位为1

奇偶校验

定点数与浮点数

机器数中小数点的位置是固定的吗_百度知道 (baidu.com)

简易讲解定点数与浮点数 - 简书 (jianshu.com)

参考了以上博客

定点数是什么？

小数点确定的数，或者说在这种表达方法中小数点的位置是确定的，那么我们称这种方法表示的数就可以是定点数。比如定点表示法。

浮点数是什么？

浮点数就是小数点不确定的，比如在后面浮点数的表示里有一个部分叫阶码，有些也叫位移数，使得小数点的位置不确定

为什么要有浮点数？

因为浮点数表示的精度更高

定点数与浮点数的区别

定点数小数点固定，浮点数不固定。

定点数的精度比浮点数更低。

机器数和真值

真值就是给人看的，机器数就是机器看的。一般是十进制，也可以是二进制

+3，-5，我们看的懂，就是真值

把数字经过编码后存入计算机的数就是机器数，如补码等。一般是二进制。

机器数和真值不过是一个数字的两种形式。

原码、反码、补码、移码

基本定义

有符号整数分别表示的范围：

• 原码从右往左找到第一个1，然后让它前面的位除符号位外全部取反即可得到它的补码。
• 一个数的补码从右往左找到第一个1，然后让它前面的位全部按位取反，就可以得到这个数的相反数的补码。（套这个公式前注意主语是补码，不是原码）

假设机器字长为8位，有符号整数补码1000 0000表示的就是-128，注意不是负零。

-128是一个比较特殊的数字，他不能用反码+1去推出补码，而是1 0000 0000-1000 000=1000 000

• 原码和反码存在正零和负零，补码只有一个正零。
• 移码由于偏置值确定存在，可以直接以无符号数的形式比较。且移码不能表示小数，只能表示整数

整数的加减法

下面的是文字版：

整数的加减法可以分为两类，无符号整数的加减法和有符号整数的加减法

无符号整数的加减法，加法不用多说，减法需要将减法转为加法。因为减去一个数，等于加上这个数的相反数。

被减数不变，减数全部位按位取反，末位加一（从右往左找到第一个1，然后第一个1前面的数全部取反），然后相加即可。

机器码设为8位,以5-3为例

1. 写出两个数的原码

00000101

00000011–全部位按位取反再末位加一–>11111101

2. 将两个数直接相加，多出的位舍弃

舍弃后得到00000010B，即2D。（D表示十进制）

而5-3确实等于2，说明我们算对了

有符号整数的加减法，加法不用多说，减法需要将减法转为加法，即拿到减数的相反数的补码。

被减数不变，减数全部位按位取反，末位加一（从右往左找到第一个1，然后第一个1前面的数全部取反，包括符号位），然后相加即可。

有符号整数和无符号整数都是这个办法，说明可以用一套电路解决

补码的加法让符号位也可以参加运算，使得电路的设计更加简便。

刷题小结

• 65535=2¹⁶-1,说明表示65535有16个1，无符号整数表示65535至少需要16位，有符号整数表示65535至少需要17位。
• 1024=2¹⁰,权值是从2⁰开始，说明1024是第十一位，所以无符号整数表示1024至少需要11位，有符号整数表示1024至少需要12位。
• 寄存器里放的内容是补码不是原码（容易粗心忽略）
• x变成2x，一般选补码算术移位，向左移1位（不是两位，不是移原码）。

原码、反码、补码的移位规则

• 偏移值为2ⁿ时，补码变成移码，其实就是符号位取相反数，但是变成移码后得把移码看成无符号数去比较而不能是有符号数。所以让移码最大其实就是让无符号数最大。
• 让有符号数的补码最大，则让符号位为0，1尽量在高位
• 让有符号数的补码最小，则让符号位为1，0尽量在高位（补码取反加1后高位的0就变成了1，原码就负的更多，值就越小）
• 负数补码高位的1越多，则这个负数的真值越大。
• [1011]_unsigned=1*2³+0 *2²+1 *2¹+1 *2⁰=11,1011是一个无符号数，位权相加即可。
• [1011]_signed=-1*2³+0 *2²+1 *2¹+1 *2⁰=-5，注意这里的1011为补码，-5为真值，这种办法可以直接由补码算出真值（负权有时很好用）
• [0011]_signed=0*2³+0 *2²+1 *2¹+1 *2⁰=3，注意这里的0011为补码，3为真值，这种办法可以直接由补码算出真值
• 正数符号扩展补0，负数符号扩展补1，同时他们的真值不变。
• 两个数相加，x为符号位进位，y为最高数值位进位，x异或y得到的值若为1表示溢出，为0表示未溢出。

最后

敬请大佬斧正

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