分部积分法习题

前置知识：分部积分法

例题1

计算$\int \ln xdx$

解：
\\qquad原式=xln⁡x−∫xd(ln⁡x)=xln⁡x−∫x⋅1xdx=x\\ln x-\\int xd(\\ln x)=x\\ln x-\\int x\\cdot\\dfrac 1xdx=xlnx−∫xd(lnx)=xlnx−∫x⋅x1​dx

$=x\ln x-\int dx=x\ln x-x+C$

例题2

计算$\int \arcsin xdx$

解：
\\qquad原式=xarcsin⁡x−∫xd(arcsin⁡x)=xarcsin⁡x−∫x⋅11−x2dx=x\\arcsin x-\\int xd(\\arcsin x)=x\\arcsin x-\\int x\\cdot \\dfrac{1}{\\sqrt{1-x^2}}dx=xarcsinx−∫xd(arcsinx)=xarcsinx−∫x⋅1−x2​1​dx

=xarcsin⁡x−∫121−x2d(1−x2)=xarcsin⁡x−1−x2+C\\qquad\\qquad =x\\arcsin x-\\int \\dfrac{1}{2\\sqrt{1-x^2}}d(1-x^2)=x\\arcsin x-\\sqrt{1-x^2}+C=xarcsinx−∫21−x2​1​d(1−x2)=xarcsinx−1−x2​+C

例题3

计算∫ln⁡(1+x2)dx\\int \\ln(1+x^2)dx∫ln(1+x2)dx

解：
\\qquad原式=xln⁡(1+x2)−∫xd[ln⁡(1+x2)]=xln⁡(1+x2)−∫x⋅11+x2⋅2xdx=x\\ln (1+x^2)-\\int xd[\\ln(1+x^2)]=x\\ln(1+x^2)-\\int x\\cdot \\dfrac{1}{1+x^2}\\cdot 2xdx=xln(1+x2)−∫xd[ln(1+x2)]=xln(1+x2)−∫x⋅1+x21​⋅2xdx

=xln⁡(1+x2)−2∫x21+x2dx=xln⁡(1+x2)−2∫(1−11+x2)dx\\qquad\\qquad =x\\ln(1+x^2)-2\\int \\dfrac{x^2}{1+x^2}dx=x\\ln (1+x^2)-2\\int (1-\\dfrac{1}{1+x^2})dx=xln(1+x2)−2∫1+x2x2​dx=xln(1+x2)−2∫(1−1+x21​)dx

=xln⁡(1+x2)−2x+2arctan⁡x+C\\qquad\\qquad =x\\ln (1+x^2)-2x+2\\arctan x+C=xln(1+x2)−2x+2arctanx+C

例题4

计算$\int x\cos xdx$

解：
\\qquad原式$=\int xd(\sin x)=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C$