【LeetCode: 剑指 Offer 60. n个骰子的点数 | 数学+ 暴力递归=＞记忆化搜索=＞动态规划】

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题目链接

剑指 Offer 60. n个骰子的点数

题目描述

把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。

你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。

示例 1:

输入: 1
输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]
示例 2:

输入: 2
输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]

限制：

1 <= n <= 11

求解思路&实现代码&运行结果

暴力递归

求解思路

1. 为了能够让同学们更好的理解这个过程，我特意将整个思考的过程以及作图的过程都绘制在下面这张图中，希望可以通过下面这张图更好的帮助你理解整个过程，大家可以结合这张图来理解整个题目的求解思路。

实现代码

class Solution {private int n;List<Double> list;public double[] dicesProbability(int n) {this.n=n;list=new ArrayList<>();int start=n,end=n*6;process(start,end,n);double[] ans=new double[list.size()];for(int i=0;i<list.size();i++){ans[i]=list.get(i);}return ans;}public void process(int start,int end,int cnt){for(int i=start;i<=end;i++){int count=dfs(i,cnt);list.add(1.0/Math.pow(6,n)*count);}}public int dfs(int target,int cnt){if(cnt==0) return target==0?1:0;int count=0;for(int i=1;i<=6;i++){count+=dfs(target-i,cnt-1); }return count;}
}

运行结果

记忆化搜索

求解思路

1. 根据我们递归的分析，在递归的过程中会产生重复的子过程，所以我们想到了加一个缓存表，也就是我们的记忆化搜索。

实现代码

class Solution {private int n;private List<Double> list;public double[] dicesProbability(int n) {this.n=n;list=new ArrayList<>();int start=n,end=n*6;process(start,end,n);double[] ans=new double[list.size()];for(int i=0;i<list.size();i++){ans[i]=list.get(i);}return ans;}public void process(int start,int end,int cnt){int[][] dp=new int[12*6][12];for(int i=0;i<dp.length;i++) Arrays.fill(dp[i],-1);for(int i=start;i<=end;i++){int count=dfs(i,cnt,dp);list.add(1.0/Math.pow(6,n)*count);}}public int dfs(int target,int cnt,int[][] dp){if(target<0) return 0;if(cnt==0) return dp[target][cnt]=target==0?1:0;if(dp[target][cnt]!=-1) return dp[target][cnt];int count=0;for(int i=1;i<=6;i++){count+=dfs(target-i,cnt-1,dp); }return dp[target][cnt]=count;}
}

运行结果

动态规划

求解思路

1. 接下来我们根据之前的递归思路以及记忆化缓存改写动态规划。

实现代码

class Solution {private int n;private List<Double> list;public double[] dicesProbability(int n) {this.n=n;list=new ArrayList<>();int start=n,end=n*6;process(start,end,n);double[] ans=new double[list.size()];for(int i=0;i<list.size();i++){ans[i]=list.get(i);}return ans;}public void process(int start,int end,int cnt){int[][] dp=new int[12*6][12];dp[0][0]=1;for(int target=1;target<=end;target++){for(int k=1;k<=cnt;k++){int count=0;for(int i=1;i<=6;i++){if(target-i>=0) count+=dp[target-i][k-1]; }dp[target][k]=count;}if(target>=start){list.add(1.0/Math.pow(6,n)*dp[target][cnt]);}   }}
}

运行结果

共勉

最后，我想送给大家一句一直激励我的座右铭，希望可以与大家共勉！