【泛函分析】是否存在有界实值函数, 使得其在有理点上连续, 无理点上不连续?
是否存在有界实值函数, 使得其在有理点上连续, 无理点上不连续?
答案是不存在. 我们先证明一条引理.
若 f(x)f(x)f(x) 在有理数点处连续, 则至少在一个无理数点处连续.
证明: [0,1][0,1][0,1] 上的有理数集合可以排列为 Q∩[0,1]={0}∪{12,22}∪⋯∪{1m,...,mm}∪...\\mathbb{Q}\\cap[0,1]=\\{0\\}\\cup\\{\\frac{1}{2}, \\frac{2}{2}\\} \\cup \\cdots \\cup\\{\\frac{1}{m}, ..., \\frac{m}{m}\\}\\cup...Q∩[0,1]={0}∪{21,22}∪⋯∪{m1,...,mm}∪... (重复的元素剔除), 记为 A={rn}A=\\{r_{n}\\}A={rn}. 在 AAA 中任取一个有理数点 rn1r_{n_{1}}rn1, 记为ξ1\\xi_{1}ξ1, 对于 ϵ1=12\\epsilon_{1}=\\frac{1}{2}ϵ1=21, 存在 0<δ1<120 \\lt \\delta_{1} \\lt \\frac{1}{2}0<δ1<21,使得 ∣x−ξ1∣≤δ1|x-\\xi_{1}|\\leq \\delta_{1}∣x−ξ1∣≤δ1 时, ∣f(x)−f(ξ1)∣≤ϵ1|f(x)-f(\\xi_{1})|\\leq \\epsilon_{1}∣f(x)−f(ξ1)∣≤ϵ1, 则在区间 [ξ1−δ1,ξ1+δ1][\\xi_{1}-\\delta_{1}, \\xi_{1}+\\delta_{1}][ξ1−δ1,ξ1+δ1] 内, 任取 x1,x2x_{1}, x_{2}x1,x2, ∣f(x1)−f(x2)∣≤∣f(x1)−f(ξ1)∣+∣f(x2)−f(ξ1)∣≤12+12=1|f(x_{1})-f(x_{2})|\\leq |f(x_{1})-f(\\xi_{1})|+|f(x_{2})-f(\\xi_{1})|\\leq \\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}=1∣f(x1)−f(x2)∣≤∣f(x1)−f(ξ1)∣+∣f(x2)−f(ξ1)∣≤21+21=1. 在此区间内任取一有理数点 rn2r_{n_{2}}rn2, n2>n1n_{2}\\gt n_{1}n2>n1, 记为 ξ2\\xi_{2}ξ2, 这是可以办到的: 否则, 该区间内的有理数标号全部小于等于 n1n_{1}n1, 说明该区间有理数个数为有限个, 显然不成立. 对于 ϵ2=122\\epsilon_{2}=\\frac{1}{2^{2}}ϵ2=221, 存在 0<δ2<1220 \\lt \\delta_{2} \\lt \\frac{1}{2^{2}}0<δ2<221, 使得 [ξ2−δ2,ξ2+δ2]⊂[ξ1−δ1,ξ1+δ1][\\xi_{2}-\\delta_{2}, \\xi_{2}+\\delta_{2}]\\subset [\\xi_{1}-\\delta_{1}, \\xi_{1}+\\delta_{1}][ξ2−δ2,ξ2+δ2]⊂[ξ1−δ1,ξ1+δ1], 且对于其中的任意一点 xxx, ∣f(x)−f(ξ2)∣≤ϵ2|f(x)-f(\\xi_{2})|\\leq \\epsilon_{2}∣f(x)−f(ξ2)∣≤ϵ2, 则在区间 [ξ2−δ2,ξ2+δ2][\\xi_{2}-\\delta_{2}, \\xi_{2}+\\delta_{2}][ξ2−δ2,ξ2+δ2] 内, 任取 x1,x2x_{1}, x_{2}x1,x2, ∣f(x1)−f(x2)∣≤∣f(x1)−f(ξ2)∣+∣f(x2)−f(ξ2)∣≤122+122=12|f(x_{1})-f(x_{2})|\\leq |f(x_{1})-f(\\xi_{2})|+|f(x_{2})-f(\\xi_{2})|\\leq \\frac{1}{2^{2}}+\\frac{1}{2^{2}}=\\frac{1}{2}∣f(x1)−f(x2)∣≤∣f(x1)−f(ξ2)∣+∣f(x2)−f(ξ2)∣≤221+221=21. … 在区间 [ξk−1−δk−1,ξk−1+δk−1][\\xi_{k-1}-\\delta_{k-1}, \\xi_{k-1}+\\delta_{k-1}][ξk−1−δk−1,ξk−1+δk−1] 内任取一有理数点 rnkr_{n_{k}}rnk, nk>nk−1n_{k}\\gt n_{k-1}nk>nk−1, 记为 ξk\\xi_{k}ξk, 这是可以办到的: 否则, 该区间内的有理数标号全部小于等于 nk−1n_{k-1}nk−1, 说明该区间有理数个数为有限个, 显然不成立. 对于 ϵk=12k\\epsilon_{k}=\\frac{1}{2^{k}}ϵk=2k1, 存在 0<δk<12k0 \\lt \\delta_{k} \\lt \\frac{1}{2^{k}}0<δk<2k1,使得 [ξk−δk,ξk+δk]⊂[ξk−δk,ξk+δk][\\xi_{k}-\\delta_{k}, \\xi_{k}+\\delta_{k}]\\subset [\\xi_{k}-\\delta_{k}, \\xi_{k}+\\delta_{k}][ξk−δk,ξk+δk]⊂[ξk−δk,ξk+δk], 且对于其中的任意一点 xxx, ∣f(x)−f(ξk)∣≤ϵk|f(x)-f(\\xi_{k})|\\leq \\epsilon_{k}∣f(x)−f(ξk)∣≤ϵk, 则在区间 [ξk−δk,ξk+δk][\\xi_{k}-\\delta_{k}, \\xi_{k}+\\delta_{k}][ξk−δk,ξk+δk] 内, 任取 x1,x2x_{1}, x_{2}x1,x2, ∣f(x1)−f(x2)∣≤∣f(x1)−f(ξk)∣+∣f(x2)−f(ξk)∣≤12k+122=12k−1|f(x_{1})-f(x_{2})|\\leq |f(x_{1})-f(\\xi_{k})|+|f(x_{2})-f(\\xi_{k})|\\leq \\frac{1}{2^{k}}+\\frac{1}{2^{2}}=\\frac{1}{2^{k-1}}∣f(x1)−f(x2)∣≤∣f(x1)−f(ξk)∣+∣f(x2)−f(ξk)∣≤2k1+221=2k−11. 考虑 ⋂i=1∞[ξi−δi,ξi+δi]\\bigcap\\limits_{i=1}^{\\infty}[\\xi_{i}-\\delta_{i}, \\xi_{i}+\\delta_{i}]i=1⋂∞[ξi−δi,ξi+δi], 这是一列嵌套的闭区间, 且区间长度趋于 000, 根据闭区间套定理, 可以推出其交集为一个点 x0x_{0}x0. 这个点必然是无理数点, 否则, 设其编号为 nnn, 则 n>nk≥kn\\gt n_{k}\\geq kn>nk≥k, ∀k∈N+\\forall k \\in \\mathbb{N}^{+}∀k∈N+, 显然不成立. 满足对于 ∀ϵ>0\\forall \\epsilon \\gt 0∀ϵ>0, 存在正整数 kkk 使得 12k−1<ϵ\\frac{1}{2^{k-1}}\\lt \\epsilon2k−11<ϵ, x0∈[ξk−δk,ξk+δk]x_{0}\\in [\\xi_{k}-\\delta_{k}, \\xi_{k}+\\delta_{k}]x0∈[ξk−δk,ξk+δk], 对于此区间内的任意一点 xxx, ∣f(x)−f(x0)∣≤12k−1<ϵ|f(x)-f(x_{0})|\\leq \\frac{1}{2^{k-1}}\\lt \\epsilon∣f(x)−f(x0)∣≤2k−11<ϵ, 因此可以找到一个 δ>0\\delta\\gt 0δ>0, 使得 [x0−δ,x0+δ]⊂[ξk−δk,ξk+δk][x_{0}-\\delta, x_{0}+\\delta]\\subset [\\xi_{k}-\\delta_{k}, \\xi_{k}+\\delta_{k}][x0−δ,x0+δ]⊂[ξk−δk,ξk+δk], 进而当 ∣x−x0∣≤δ|x-x_{0}|\\leq \\delta∣x−x0∣≤δ 时, ∣f(x)−f(x0)∣≤ϵ|f(x)-f(x_{0})|\\leq \\epsilon∣f(x)−f(x0)∣≤ϵ.
该证明参考了知乎问题 是否存在有界实值函数, 使得其在有理点上连续, 无理点上不连续? 的回复中网友"冯白羽"的回答.