前言

本文基于《信号与线性系统分析》第5版 吴大正等
博客参考【信号与系统】复习总结笔记
红色

1.系统的概念和分类

1.1系统

系统(system)：是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。
信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统
系统的基本作用是对信号进行传输和处理。

1.2通信系统

通信系统：为传送消息而装设的全套技术设备

2.信号的描述和分类

2.1信号的分类：

按实际用途划分:
电视信号，雷达信号，控制信号，通信信号，广播信号，…

2.1.1确定信号（规则信号）和随机信号

• 确定信号或规则信号 ：
  ①可用确定的时间函数表示的信号。
  ②对于指定的某一时刻t，有确定的函数值ft)。

• 随机信号：
  ①取值具有不确定性的信号。
  （若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性）

• 伪随机信号
  貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。

2.1.2连续信号和离散信号

• 连续时间信号 ：在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号，实际中也常称为模拟信号；
  ①这里的“连续”指函数的定义域—时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。
  ②用t 表示连续时间变量。
  

• 离散时间信号 ：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号，实际中也常称为数字信号。
  ①定义域—时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。如右图的f(t)仅在一些离散时刻tk(k = 0,±1,±2,…)才有定义，其余时间无定义。
  ② 离散点间隔Tk= tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等间隔T，离散信号可表示为f(kT)，简写为f(k)，这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中k称为序号。
  
  

2.1.3模拟信号，抽样信号，数字信号

2.1.4周期信号和非周期信号

• 周期信号 ：一个每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号；

  连续周期信号f(t)满足： f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,…
  离散周期信号f(k)满足： f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…
  满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。

• 非周期信号 ：不具有周期性的信号称为非周期信号。

2.1.5能量信号与功率信号

能量信号 ：信号总能量为有限值而信号平均功率为零；
功率信号 ：平均功率为有限值而信号总能量为无限大。

2.1.6一维信号与多维信号

信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维或多维函数。
一维信号 ：只由一个自变量描述的信号，如语音信号。
多维信号 ：由多个自变量描述的信号，如图像信号。

2.1.7实信号与复信号

• 实信号：f(t)=f*(t)，它是一个实函数。 f*(t)为f(t)的共轭函数。
• 复信号：f(t)≠f*(t)，它是一个复函数，即 f(t)=f1(t)+jf2(t)， 式中f1(t)与f2(t)均为实函数。

2.1.8因果信号

若当t<0时f(t)=0,当t>0时f(t)≠0的信号,称为因果信号；非因果信号指的是在时间零点之前有非零值。

2.2信号描述

2.2.1抽样信号

2.2.2 正选函数信号

2.2.3指数信号

2.3.4周期信号

2.3.4.1连续周期信号

例 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。
（1）f1(t) = sin2t + cos3t
（2）f2(t) = cos2t + sinπt

分析：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
解答
（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为
ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ ω1= πs
cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为
ω2= 3 rad/s ， T2= 2π/ ω2= (2π/3) s
由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2π。
（2） cos2t 和sinπt的周期分别为T1= πs， T2= 2 s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。

2.3.4.2离散周期信号

2.3.5门函数

2.3.6符号函数

3.信号的基本运算

3.1信号的＋、－、×运算:

两信号f1(·)和f2(·)的相＋、－、×指同一时刻两信号之值对应相加减乘。
①同一瞬时两信号对应值相加（相乘）

②离散序列相加、乘

3.2信号的反转

3.3信号的平移

3.4信号的展缩(尺度变换）

3.5混合运算举例

3.5.1平移与反转相结合

3.5.2平移与尺度变换相结合

3.5.3平移、展缩、反折相结合举例

3.5.3.1例①

也可以先压缩、再平移、最后反转

3.5.3.2例②

若已知f (– 4 – 2t) ，画出 f (t)

3.5.3.3例③

3.5.3.4例四

4.阶跃函数和冲激函数

4.1奇异信号或奇异函数

函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。
阶跃函数和 冲激函数是两个典型的奇异函数。
阶跃序列和单位样值序列

4.2单位阶跃函数

4.2.1定义

4.2.2延迟单位阶跃信号

4.2.3阶跃函数的性质

4.2.4例子

4.3单位冲激函数

4.3.1.概述

单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型

• 狄拉克(Dirac)定义
• 函数序列定义δ(t)
• 冲激函数与阶跃函数关系
• 冲激函数的性质

4.3.2狄拉克(Dirac)定义

4.3.3函数序列定义δ(t)

4.3.4 δ(t)与ε(t)的关系

引入冲激函数之后，间断点的导数也存在

4.3.5冲激函数的性质

取样性
冲激偶
尺度变换
复合函数形式的冲激函数

4.3.5.1取样性(筛选性)

4.3.5.2冲激偶

冲激偶的性质

4.3.5.3 对δ(t)的尺度变换

4.3.5.4例题

5. 系统的特性与分类

5.1 系统

系统：若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。

5.2 系统的分类及性质

5.2.1连续系统与离散系统

·连续(时间)系统:系统的激励和响应均为连续信号。
·离散(时间)系统:系统的激励和响应均为离散信号。
·混合系统:系统的激励和响应一个是连续信号，一个为离散信号。如A/D，D/A变换器。

5.2.2 动态系统与即时系统

动态系统也称为记忆系统。
若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统 或记忆系统。
含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。

否则称即时系统或无记忆系统。        

5.2.3 单输入单输出系统与多输入多输出系统

单输入单输出系统：系统的输入、输出信号都只有一个
多输入多输出系统：系统的输入、输出信号有多个。

5.2.4 线性系统与非线性系统

动态系统是线性系统的条件

5.2.5 时不变系统与时变系统

5.2.6 因果系统与非因果系统

5.2.7 稳定系统与不稳定系统

5.3例子

5.3.1LTI系统微分特性证明

5.3.2判断时不变系统举例

5.3.3判断线性系统应用举例

5.3.4微分方程描述系统的线性判断

5.3.5因果系统判断举例

5.3.6综合举例

6.系统的描述和分析方法

6.1系统的数学模型

连续系统解析描述：微分方程
离散系统解析描述：差分方程

6.1.1连续系统的解析描述

机械减振系统

6.1.2离散系统的解析描述

6.2系统的框图描述

上述方程从数学角度来说代表了某些运算关系：相乘、微分（差分）、相加运算。将这些基本运算用一些基本单元符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。

• 连续系统的基本单元
• 离散系统的基本单元
• 系统模拟

6.2.1连续系统的基本单元

6.2.2 离散系统的基本单元

6.2.3系统模拟

实际系统→方程→模拟框图 →实验室实现（模拟系统）→指导实际系统设计
总结：画系统的模拟图时，应注意两点：
其一是相加器的输出是微分方程(或是差分方程)的最高阶；
其二是当激励的阶数高于或等于一阶时，应采用变量代换的方法。
方程←→框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。

6.3 LTI系统分析概述

求解的基本思路
把零输入响应和零状态响应分开求。
把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。
== 采用的数学工具：==
时 域： 卷积积分与卷积和
频 域： 傅里叶变换
复频域：拉普拉斯变换与Z变换

6.4例题

6.4.1由微分方程画框图 例1

6.4.2由微分方程画框图 例2

6.4.3由框图写微分方程例3

6.4.4由框图写差分方程例4

6.4.5由差分方程画框图例5