这是一篇会不断补充、完善的学习笔记。

超复数 hypercomplex number

超复数是一种推广的复数。哈密顿把复数加以推广，引进了四元数。这种推广了的复数，就是一种超复数。

结合普通的复数，很容易理解以下内容。

1 定义

A=a0+a1i+a2j+a3kA=a_0+a_1i+a_2j+a_3kA=a0​+a1​i+a2​j+a3​k是一个超复数。
a=∣A∣=(a02+a12+a22+a32)1/2a=|A|=(a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2)^{1/2}a=∣A∣=(a02​+a12​+a22​+a32​)1/2称为超参数$A$的模。
$i,j,k$称为超参数$A$的第一、第二、第三维虚单位。

2 相关性质

2.1 超复数相等

设两个超复数A=a0+a1i+a2j+a3kA=a_0+a_1i+a_2j+a_3kA=a0​+a1​i+a2​j+a3​k和B=b0+b1i+b2j+b3kB=b_0+b_1i+b_2j+b_3kB=b0​+b1​i+b2​j+b3​k。
(1)A=B⇔an=bn(n=0,1,2,3)A=B\\Leftrightarrow a_n=b_n \\ (n=0,1,2,3)A=B⇔an​=bn​ (n=0,1,2,3)
(2)m(a0+a1i+a2j+a3k)=ma0+ma1i+ma2j+ma3km(a_0+a_1i+a_2j+a_3k)=ma_0+ma_1i+ma_2j+ma_3km(a0​+a1​i+a2​j+a3​k)=ma0​+ma1​i+ma2​j+ma3​k，$m$为实数。

2.2 共轭超复数

设超复数A=a0+a1i+a2j+a3kA=a_0+a_1i+a_2j+a_3kA=a0​+a1​i+a2​j+a3​k，Aˉ=a0−a1i−a2j−a3k\\bar{A}=a_0-a_1i-a_2j-a_3kAˉ=a0​−a1​i−a2​j−a3​k是$A$的共轭超复数。

∣A∣=∣Aˉ∣,Aˉ=Bˉ⇔an=bn(n=0,1,2,3)|A|=|\\bar{A}|, \\bar{A}=\\bar{B}\\Leftrightarrow a_n=b_n \\ (n=0,1,2,3)∣A∣=∣Aˉ∣,Aˉ=Bˉ⇔an​=bn​ (n=0,1,2,3)

2.3 乘法法则

两个超复数A=a0+a1i+a2j+a3kA=a_0+a_1i+a_2j+a_3kA=a0​+a1​i+a2​j+a3​k和B=b0+b1i+b2j+b3kB=b_0+b_1i+b_2j+b_3kB=b0​+b1​i+b2​j+b3​k的积

AB=[a0+a1i+a2j+a3k][b0+b1i+b2j+b3k]=⋯=a0b0−a1b1+(a0b1+b0a1)i\\begin{aligned} AB&=[a_0+a_1i+a_2j+a_3k][b_0+b_1i+b_2j+b_3k] \\\\ &=\\cdots \\\\ &=a_0b_0-a_1b_1+(a_0b_1+b_0a_1)i \\end{aligned} AB​=[a0​+a1​i+a2​j+a3​k][b0​+b1​i+b2​j+b3​k]=⋯=a0​b0​−a1​b1​+(a0​b1​+b0​a1​)i​
即常规复数乘积。

3 三角表示式

设超复数A=a0+a1i+a2j+a3kA=a_0+a_1i+a_2j+a_3kA=a0​+a1​i+a2​j+a3​k称$u,v,w$为$A$的第一、第二、第三角。
a0=acos⁡ucos⁡vcos⁡wa_0=a\\cos u\\cos v\\cos wa0​=acosucosvcosw，a1=acos⁡ucos⁡vsin⁡wa_1=a\\cos u\\cos v\\sin wa1​=acosucosvsinw，a2=acos⁡usin⁡va_2=a\\cos u\\sin va2​=acosusinv，a3=asin⁡ua_3=a\\sin ua3​=asinu。

A=a0+a1i+a2j+a3k=(a,u,v,w)=a(cos⁡ucos⁡vcos⁡w+icos⁡ucos⁡vsin⁡w+jcos⁡usin⁡v+ksin⁡u)\\begin{aligned} A&=a_0+a_1i+a_2j+a_3k \\\\ &=(a,u,v,w) \\\\ &=a(\\cos u\\cos v\\cos w+i\\cos u\\cos v\\sin w+j\\cos u\\sin v+k\\sin u) \\end{aligned} A​=a0​+a1​i+a2​j+a3​k=(a,u,v,w)=a(cosucosvcosw+icosucosvsinw+jcosusinv+ksinu)​

一些结论

设两超复数A=(a,u1,v1,w1),B=(b,u2,v2,w2)A=(a,u_1,v_1,w_1),B=(b,u_2,v_2,w_2)A=(a,u1​,v1​,w1​),B=(b,u2​,v2​,w2​)，实数$m$，则
(1) m(a,u1,v1,w1)=(ma,mu1,mv1,mw1)m(a,u_1,v_1,w_1)=(ma,mu_1,mv_1,mw_1)m(a,u1​,v1​,w1​)=(ma,mu1​,mv1​,mw1​)
(2) (a,u1,v1,w1)(b,u2,v2,w2)=(ab,u1+u2,v1+v2,w1+w2)(a,u_1,v_1,w_1)(b,u_2,v_2,w_2)=(ab,u_1+u_2,v_1+v_2,w_1+w_2)(a,u1​,v1​,w1​)(b,u2​,v2​,w2​)=(ab,u1​+u2​,v1​+v2​,w1​+w2​)
(3) (a,u1,v1,w1)/(b,u2,v2,w2)=(a/b,u1−u2,v1−v2,w1−w2)(a,u_1,v_1,w_1)/(b,u_2,v_2,w_2)=(a/b,u_1-u_2,v_1-v_2,w_1-w_2)(a,u1​,v1​,w1​)/(b,u2​,v2​,w2​)=(a/b,u1​−u2​,v1​−v2​,w1​−w2​)
(4) (a,u1,v1,w1)n=(an,nu1,nv1,nw1)(a,u_1,v_1,w_1)^n=(a^n,nu_1,nv_1,nw_1)(a,u1​,v1​,w1​)n=(an,nu1​,nv1​,nw1​)
(5) 设超复数$A=(a,u,v,w)$的共轭超复数Aˉ=(a,−u,−v,−w)\\bar{A}=(a,-u,-v,-w)Aˉ=(a,−u,−v,−w)，则
(Aˉ)n(\\bar{A})^n(Aˉ)n是AnA^nAn的共轭超复数。
(6) 设超复数$A=(a,u,v,w)$，f(A)=c0+c1A+⋯+cnAnf(A)=c_0+c_1A+\\cdots+c_nA^nf(A)=c0​+c1​A+⋯+cn​An，cj(j=0,1,⋯n)c_j (j=0,1,\\cdots n)cj​(j=0,1,⋯n)为实数，则f(Aˉ)f(\\bar{A})f(Aˉ)是$f(A)$的共轭超复数。

对于(6)，有一种简单理解方法：我们可以将Aˉ\\bar{A}Aˉ带入$f(A)$中，可以得到：
f(A)=c0+c1A+⋯+cnAn=c0+c1(a,u,v,w)+⋯+cn(an,nu,nv,nw)\\begin{aligned} f(A)&=c_0+c_1A+\\cdots+c_nA^n \\\\ &=c_0+ c_1(a,u,v,w)+\\cdots+c_n(a^n,nu,nv,nw) \\\\ \\end{aligned} f(A)​=c0​+c1​A+⋯+cn​An=c0​+c1​(a,u,v,w)+⋯+cn​(an,nu,nv,nw)​
f(Aˉ)=c0+c1Aˉ+⋯+cn(Aˉ)n=c0+c1(a,−u,−v,−w)+⋯+cn(an,−nu,−nv,−nw)\\begin{aligned} f(\\bar{A})&=c_0+c_1\\bar{A}+\\cdots+c_n(\\bar{A})^n \\\\ &=c_0+ c_1(a,-u,-v,-w)+\\cdots+c_n(a^n,-nu,-nv,-nw) \\\\ \\end{aligned} f(Aˉ)​=c0​+c1​Aˉ+⋯+cn​(Aˉ)n=c0​+c1​(a,−u,−v,−w)+⋯+cn​(an,−nu,−nv,−nw)​

不难看出，其四元组绝对值完全对称， 三个角度互为相反数。做空间加法后，$f(A)$、f(Aˉ)f(\\bar{A})f(Aˉ)的关系和$A$、Aˉ\\bar{A}Aˉ相似，即为共轭关系。