Python矩阵分解之QR分解

QR和RQ分解

记$A$为方阵，$P,Q$分别为正交单位阵和上三角阵，则形如$A=QR$的分解为QR分解；形如$A=RQ$的分解为RQ分解。

在scipy.linalg中，为二者提供了相同的参数，除了待分解矩阵a之外，还有下列参数

• overwrite_a 默认为False，为True时，将在矩阵分解时覆盖a的值
• lwork 工作数组的尺寸
• mode 默认'full'，用于调整返回值，可选4个参数
  • 'full'：返回$Q$和$R$
  • 'r'：返回$R$
  • 'economic'：返回$Q$和$R$，但是合并在一起
  • 'raw'：返回$Q$和$TAU$矩阵
• pivoting 默认False，当为True时，计算$AP=QR$，但要求选择合适的$P$，从而让$R$的对角线非递增
• check_finite 默认为True，表示检查是否有限

import numpy as np
import scipy.linalg as sl
A = np.random.rand(3,3)
q1,r1 = sl.qr(A)
r2,qr = sl.rq(A)

结果得到q1q_1q1​和q2q_2q2​分别为，可见二者并不相等。

q1=[−0.6594500211609350.7497593086926530.0546502389707366−0.180811070132312−0.0876283110599659−0.979606367893955−0.729680085043063−0.655882808228340.193351274529173]q2=[0.377636504144627−0.9255561862726060.0271370003857254−0.06742675088845560.001742086536333450.99772270616596−0.923495697879558−0.378606274627098−0.0617493709355736]q_1 = \\left[\\begin{matrix}-0.659450021160935 & 0.749759308692653 & 0.0546502389707366\\\\-0.180811070132312 & -0.0876283110599659 & -0.979606367893955\\\\-0.729680085043063 & -0.65588280822834 & 0.193351274529173\\end{matrix}\\right]\\\\ q_2=\\left[\\begin{matrix}0.377636504144627 & -0.925556186272606 & 0.0271370003857254\\\\-0.0674267508884556 & 0.00174208653633345 & 0.99772270616596\\\\-0.923495697879558 & -0.378606274627098 & -0.0617493709355736\\end{matrix}\\right] q1​=​−0.659450021160935−0.180811070132312−0.729680085043063​0.749759308692653−0.0876283110599659−0.65588280822834​0.0546502389707366−0.9796063678939550.193351274529173​​q2​=​0.377636504144627−0.0674267508884556−0.923495697879558​−0.9255561862726060.00174208653633345−0.378606274627098​0.02713700038572540.99772270616596−0.0617493709355736​​

但是q1r1q_1r_1q1​r1​的确是等于r2q2r_2q_2r2​q2​的。

>>> q1@r1
array([[0.81677429, 0.63368526, 0.84867074],[0.22394697, 0.10848293, 0.58357567],[0.90375906, 0.37051483, 0.06042968]])
>>> q2@r2
array([[-0.09631134, -0.22572231, -0.15900946],[ 0.01719633, -0.05246553, -0.90632485],[ 0.23552571, -0.94691613,  1.13446376]])
>>> r2@q2
array([[0.81677429, 0.63368526, 0.84867074],[0.22394697, 0.10848293, 0.58357567],[0.90375906, 0.37051483, 0.06042968]])

其他函数

除了qr和rq这两个函数外，scipy.linalg还提供了其他与qr分解相关的函数。

qr_multiply(a,c)，在对$A$进行$QR$分解之后，返回$CQ$，其参数中，overwrite_a, overwrite_c, privoting与qr函数中的作用相同，或可类比。此外，还有其他两个参数

• mode 可选left或right，分别表示返回$QC$或$CQ$
• conjugate 为True时，返回Q的复共轭

qr_update(Q, R, u, v)，若$A=QR$是QR分解，则返回A+uvTA+uv^TA+uvT的QR分解。此函数也支持overwrite_qruv, check_finite参数。

qr_delete(Q,R,k,p)和qr_insert(Q,R,u,k)分别用于矩阵的删减和增添，对于$A=QR$而言，前者从第$k$行/列删掉$p$行/列；后者在第$k$行/列插入$U$。

这两个函数均支持check_finite，覆写开关分别是overwrite_qr和overwrite_qru，通过which来调整插入/删除的是行还是列，即which='row'时，针对行操作，为'cols'时，针对列操作。